【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-2,6),
與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E,連接AE、AC,求證:是等腰直角三角形;
(3)連接AD交BC于點(diǎn)F,試問(wèn)當(dāng)時(shí),在拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在, 請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)A(-4,0);(2)證明見(jiàn)解析;(3)存在,(-2,6)或.
【解析】試題分析: (1)將點(diǎn)C(-2,6)代入解析式求出m的值,令y=0,求出A的坐標(biāo);
(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AE、CE的長(zhǎng)度,再根據(jù)股定理的逆定理判斷出△AEC是等腰直角三角形;
(3)求出AD、BC的解析式組成方程組,解出F的坐標(biāo),根據(jù)三角形相似求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:
(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-2,6)
∴
∴
∴
∴當(dāng),
,
(2)證明:設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b,
由題意得: ,解得: .
∴直線BC的解析式為y=-2x+2.
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2).
∴ .
∴AE=CE
又∵
∴
∴△AEC為等腰直角三角形
(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似。理由如下:
設(shè)直線AD的解析式為y=k1x+b1,則 ,解得: .
∴直線AD的解析式為y=x+4。
聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得: ,解得: .
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為( , )。
則 ,
。
又∵AB=5, ,
∴.
∴.
又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA。
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似。
又∵拋物線關(guān)于直線對(duì)稱
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)重合時(shí),以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形也與相似。
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,6)或(-時(shí),以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似。
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C.1.73
D.1.75
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