Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠,直角邊AB、BC的長(AB＜BC)是方程 2－7 ＋12＝0的兩個(gè)根．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)．

（1）求AB與BC的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊BC上時(shí)，試求出使AP長為 時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0 ∴x1＝3或x2＝4．則AB＝3，BC＝4.

（2）

由題意得AB2+BP2=AP2，則32+（t-3）2=10,

解得t1=4,t2=2（舍）.

即t=4時(shí)，AP=.

（3）

存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形.

①當(dāng)AP＝AB＝3時(shí)，P在CC，則 t=3+4+5-3=9(秒).

②當(dāng)BP＝BA＝3時(shí)，當(dāng)P在AC上時(shí)， t= (秒)，

當(dāng)P在BC上時(shí)， t=3+3=6 (秒)，

③當(dāng)BP=AP (即P為AC中點(diǎn))時(shí)， ∴t＝3+4+2.5=9.5(秒).

可知當(dāng)t為9秒或9.5秒或6 (秒)或(秒)時(shí)，△ABP是等腰三角形.

【解析】（1）運(yùn)用因式分解法求；
（2）由勾股定理構(gòu)造方程，解出t的值；
（3）分類討論：①當(dāng)AP＝AB＝3時(shí)，②當(dāng)BP＝BA＝3時(shí)，③當(dāng)BP=AP.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用因式分解法和等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）即可以解答此題．