(2011•岳池縣模擬)如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知拋物線頂點N的坐標為(-1.-
92
),此拋物線交y軸于B(0,-4),交x軸于A、C兩點且A點在C點左邊.
(1)求拋物線解析式及A、C兩點的坐標.
(2)如果點M為第三象限內(nèi)拋物線上一個動點且它的橫坐標為m,設(shè)△AMB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值.
(3)若點P是拋物線上的動點,點Q是直線y=x上的動點,判斷有幾個位置使得以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應的點Q的坐標.
分析:(1)先設(shè)出拋物線解析式,根據(jù)題意拋物線交y軸于B(0,-4),求出拋物線解析式,再根據(jù)拋物線的特點求出它的橫坐標,即可求出A和C的坐標;
(2)先作MT⊥x軸于T,再設(shè)M(m,n),得出AT、MT、TO、BO的值,即可得出SAMBO的值,再根M點在拋物線上,求出SAMBO的值,然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式,得出拋物線開口向下,即可求出S的最大值;
(3)根據(jù)(2)的相應的條件,可以直接得出點此時Q的坐標;
解答:解:(1)設(shè)拋物線解析式為:
∵拋物線交y軸于B(0,-4)
a-
9
2
=-4
,
a=
1
2

∴拋物線解析式為:
y=
1
2
(x+1)2-
9
2
y=
1
2
x2+x-4

令y=0得:
1
2
x2+x-4=0

解得:x1=-4,x2=2
∴A(-4,0),C(2,0);

(2)作MT⊥x軸于T,設(shè)M(m,n),
則AT=m+4,MT=-n,TO=-m,BO=4.
∴SAMBO=
1
2
(m+4)(-n)+
1
2
(-n+4)(-m)=-2m-2n

∵M(m,n)在拋物線上,
n=
1
2
m2+m-4

∴SAMBO=-2m-2(
1
2
m2+m-4)=-m2-4m+8

∵S△AOB=
1
2
×4×4=8

∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為:S=-m2-4m
∵S為m的二次函數(shù)且-1<0,
∴拋物線開口向下,
∴S的最大值為-
(-4)2+4(-1)•0
4(-1)
=4
;

(3)因為點P是拋物線上的動點,點Q是直線y=x上的動點,
所以相應的點Q的坐標為:有兩個位置滿足條件,此時點Q的坐標為(4,4),(-4,-4).
設(shè)p(a,0.5x2+x-4),則Q(a,-a)
那么PQ=OB=4,
∴0.5x2+x-4-(-a)=4,
解得a=-2+
5
或a=-2-
5
(舍去),
∴Q(-2+
5
,2-
5
).
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法.在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果.
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