【題目】如圖,在Rt△ABC的頂點A、B在x軸上,點C在y軸上正半軸上,且

A(-1,0),B(4,0),∠ACB=90°.

(1)求過A、B、C三點的拋物線解析式;

(2)設(shè)拋物線的對稱軸l與BC邊交于點D,若P是對稱軸l上的點,且滿足以P、C、D為頂點的三角形與△AOC相似,求P點的坐標(biāo);

(3)在對稱軸l和拋物線上是否分別存在點M、N,使得以A、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在請直接寫出點M、點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

圖1 備用圖

【答案】見解析

【解析】分析:(1)根據(jù)求出點的坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)分兩種情況進(jìn)行討論即可.

(3)存在. 假設(shè)直線l上存在點M,拋物線上存在點N,使得以A、O、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.分當(dāng)平行四邊形是平行四邊形時,當(dāng)平行四邊形AONM是平行四邊形時,當(dāng)四邊形AMON為平行四邊形時,三種情況進(jìn)行討論.

詳解:(1)易證,得,

OC=2,C(0,2),

拋物線過點A(-1,0),B(4,0)

因此可設(shè)拋物線的解析式為

C(0,2)代入得:,即

拋物線的解析式為

(2)如圖2,

當(dāng)時,P1(,2),

當(dāng) 時,

OCl,

,

P2H·OC=5,

P2 (,5)

因此P點的坐標(biāo)為(,2)(,5).

(3)存在.

假設(shè)直線l上存在點M,拋物線上存在點N,使得以A、O、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.

如圖3,

當(dāng)平行四邊形是平行四邊形時,M(),(,),

當(dāng)平行四邊形AONM是平行四邊形時,M(,),N(,),

如圖4,當(dāng)四邊形AMON為平行四邊形時,MNOA互相平分,此時可設(shè)M(m),則

N在拋物線上,

-m=-·(-+1)( --4)=-,

m=,

此時M(), N(-,-).

綜上所述,M(,),N(,)M(,),N(,) M(,), N(-,-).

練習(xí)冊系列答案
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應(yīng)用:如圖②,若DE=2CD=1,則四邊形EFCD的面積為

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(1)填空:AB= ,BC= ;

(2)若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒3個單位 長度和7個單位長度的速度向右運動,設(shè)運動時間為t,用含t的代數(shù)式表示BCAB的長,試探索:BC - AB的值是否隨著時間t的變化而改變?請說明理由.

(3)現(xiàn)有動點P、Q都從A點出發(fā),點P以每秒1個單位長度的速度向終點C移動;當(dāng)點P 移動到B點時,點Q才從A點出發(fā),并以每秒3個單位長度的速度向右移動,且當(dāng)點P到達(dá)C點時,點Q就停止移動.設(shè)點P移動的時間為t秒,問:當(dāng)t為多少時P、Q兩點相距6個單位長度?

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2)遷移應(yīng)用:如圖2,將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),三角板的一個銳角的頂點與坐標(biāo)原點O重合,另兩個頂點均落在第一象限內(nèi),已知點M的坐標(biāo)為(1,3),求點N的坐標(biāo).

3)拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知直線y=﹣3x+3y軸交于點P,與x軸交于點Q,將直線PQP點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后,所得的直線交x軸于點R.求點R的坐標(biāo).

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