Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是位于軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果是以為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B 代入拋物線，即可求出拋物線解析式，再化為頂點(diǎn)式即可；
（2）如圖1，連接AB，交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，則N（-，-2），利用相等角的正切值相等即可求出EH的長(zhǎng)，OE的長(zhǎng)，可寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）分∠EAP=90°和∠AEP=90°兩種情況討論，通過相似的性質(zhì)，用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，可分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）（1）將點(diǎn)A（-3，-2）、B （0，-2）代入拋物線，
得，，
解得，a=，c=-2，
∴y=x2+4x-2
=（x+）2-5，
∴拋物線解析式為y=x2+4x-2，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，-5）；

（2）如圖1，連接AB，交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，則N（-，-2），

，則，

過作，，

則，

∵OH=3,

∴OE=1,

∴

（3）①如圖2，當(dāng)∠EAP=90°時(shí)，
∵∠HEA+∠HAE=90，∠HAE+∠MAP=90°，

∴∠HEA=∠MAP，
又∠AHE=∠PMA=90°，

，

則，設(shè)，則

將代入

得（舍），，

∴

②如圖3，當(dāng)∠AEP=90°時(shí)，

∵∠EAG+∠AEG=90°，∠AEG+∠PEN=90°，

∴∠AEG=∠EPN，
又∵∠N=∠G=90°，

∴，則

設(shè)，則

將代入

得，（舍），

∴

綜上所述：，