Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，DF⊥DE交邊AC于點F．
（1）求BC的長；
（2）設FC=x，BE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）聯(lián)結EF，當△DEF和△ABC相似時，求BE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理可得出BC的長度；
（2）過點E作EH⊥BC，垂足為H，容易證得△ACB∽△EHB，△DFC∽△EDH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到兩個關于BH與EH的關系式，兩者結合可求得y關于x的函數(shù)關系式；
（3）過點E作EH⊥BC，垂足為H，設EH=3k，BE=5k，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出k的值，在解題時要注意分類討論．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∵AB²=BC²+AC²，
∴BC=8．

（2）過點E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△ACB∽△EHB，
可得：

BC

AC

=

BH

EH

即：

8

6

=

BH

EH

…①
∵DF⊥DE
∴∠EDB+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠CFD=90°，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠EHD=∠C=90°
∴△DFC∽△EDH，
可得：

CF

CD

=

DH

EH

，
即：

x

4

=

DH

EH

…②
結合①②，可得：BH=

64

3x+16

，
∵△ACB∽△EHB，
∴

BC

AB

=

BH

BE

，
即：

8

10

=

BH

y

，
∴y=

5

4

BH=

80

3x+16

，
∵其中F是在AC線段上的，
∴0≤x≤6．
∴y關于x的函數(shù)關系式：y=

80

3x+16

（0≤x≤6）．

（3）過點E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△EHB∽△ACB
設EH=3k，BE=5k
∵△EHD∽△DCF
∴

EH

CD

=

DE

DF

，
當△DEF和△ABC相似時，有兩種情況：
①

DE

DF

=

AC

BC

=

3

4

，
∴

EH

CD

=

3

4

，
即

3k

2

=

3

4

，
解得k=

1

2

，
∴BE=5k=

5

2

；
②

DE

DF

=

BC

AC

=

4

3

，
∴

EH

CD

=

4

3

，
即

3k

2

=

4

3

，
解得k=

8

9

，
∴BE=5k=

40

9

．
綜合①②，當△DEF和△ABC相似時，BE的長為

5

2

或

40

9

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的運用，題目難度不小，具有一定的綜合性．解題的關鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得到邊長的相似比，另外求兩個三角形相似時，要注意分類討論．