Question

9．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C（0，-3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．
（3）直線l經(jīng)過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動，直線m經(jīng)過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）連接BC，則△ABC的面積是不變的，過P作PM∥y軸，交BC于點M，設(shè)出P點坐標(biāo)，可表示出PM的長，可知當(dāng)PM取最大值時△PBC的面積最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點的坐標(biāo)及四邊形ABPC的最大面積；
（3）設(shè)直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以當(dāng)△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點坐標(biāo)，利用B、N兩的點坐標(biāo)可求得直線m的解析式．

解答 解：
（1）把B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）如圖1，連接BC，過P作y軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，

在y=x²-2x-3中，令y=0可得0=x²-2x-3，解得x=-1或x=3，
∴A點坐標(biāo)為（-1，0），
∴AB=3-（-1）=4，且OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=x-3，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則M點坐標(biāo)為（x，x-3），
∵P點在第四限，
∴PM=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PM•OH+$\frac{1}{2}$PM•HB=$\frac{1}{2}$PM•（OH+HB）=$\frac{1}{2}$PM•OB=$\frac{3}{2}$PM，
∴當(dāng)PM有最大值時，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，
∵PM=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，PM_max=$\frac{9}{4}$，則S_△PBC=$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$，
此時P點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$，
即當(dāng)P點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為$\frac{75}{8}$；
（3）①當(dāng)點Q在x軸下方時，如圖2，設(shè)直線m交y軸于點N，交直線l于點G，

則∠AGB=∠GNC+∠GCN，
當(dāng)△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AOC和Rt△NOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠NOB}\\{OC=OB}\\{∠ACO=∠NBO}\end{array}\right.$
∴Rt△AOC≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N點坐標(biāo)為（0，-1），
設(shè)直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{d=-1}\end{array}\right.$，
∴直線m解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1；
②當(dāng)點Q在x軸上方時，此時直線m與①中的直線m關(guān)于x軸對稱，
∴解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1；
綜上可知存在滿足條件的直線m，其解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1或y=-$\frac{1}{3}$x+1．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等．在（2）中確定出PM的值最大時四邊形ABPC的面積最大是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是第（2）問和第（3）問難度較大．