Question

AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線相交于D，和⊙O相交于E．如果AC平分∠DAB，
（1）求證：∠ADC=90°；
（2）若AB=2r，AD=r，求DE．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，
∴AD∥OC，
∴AD⊥CD，
即∠ADC=90°．

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°，
由（1）得∠2=∠3，∠ACB=∠ADC=90°，
∴Rt△ABC∽R(shí)t△ACD，
∴，
即AC²=AB•AD=2r，
又∵CD²=AC²-AD²=，
且CD²=DE•AD，
∴DE=．
分析：（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的判定定理求出AD∥OC，再根據(jù)切線的性質(zhì)解答即可．
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，由（1）可求出Rt△ABC∽R(shí)t△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理解答即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．