Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O直徑，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BAE=∠C.

1.求證：直線AE是⊙O的切線

2.若EB=AB，，AE=24，求EB的長(zhǎng)及⊙O的半徑.

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：連結(jié)BD.   

∵ AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD =90°.

∴∠1+∠D =90°.

∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，

∴∠D=∠BAE.   

∴∠1+∠BAE=90°.

即 ∠DAE=90°.

∵AD是⊙O的直徑，

∴直線AE是⊙O的切線. 

2.解: 過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F, 則∠BFE=90°.

∵ EB=AB,

∴∠E=∠BAE, EF=AE=×24=12. 

∵∠BFE=90°, ,

 ∴=15.  

 ∴ AB=15.          

 由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, 

 ∴∠D=∠E.

∵∠ABD=90°,

 ∴  .     

 設(shè)BD=4k，則AD＝5k.

 在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝=3k,

可求得k=5.     

∴

∴⊙O的半徑為.  

【解析】（1）證得∠DAE=90°即可說(shuō)明直線AE是⊙O的切線.；

       （2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算。