Question

5．有一個(gè)n位自然數(shù)$\overline{abcd…gh}$能被x₀整除，依次輪換個(gè)位數(shù)字得到的新數(shù)$\overline{bcd…gha}$能被x₀+1整除，再依次輪換個(gè)位數(shù)字得到的新數(shù)$\overline{cd…ghab}$能被x₀+2整除，按此規(guī)律輪換后，$\overline{d…ghabc}$能被x₀+3整除，…，$\overline{habc…g}$能被x₀+n-1整除，則稱這個(gè)n位數(shù)$\overline{abcd…gh}$是x₀的一個(gè)“輪換數(shù)”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數(shù)60是5的一個(gè)“輪換數(shù)”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則稱三位數(shù)324是2個(gè)一個(gè)“輪換數(shù)”．
（1）若一個(gè)兩位自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，求證這個(gè)兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”．
（2）若三位自然數(shù)$\overline{abc}$是3的一個(gè)“輪換數(shù)”，其中a=2，求這個(gè)三位自然數(shù)$\overline{abc}$．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出兩位自然數(shù)的十位數(shù)字，表示出這個(gè)兩位自然數(shù)，和輪換兩位自然數(shù)即可；
（2）先表示出三位自然數(shù)和輪換三位自然數(shù)，再根據(jù)能被5整除，得出b的可能值，進(jìn)而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

解答 解：（1）設(shè)兩位自然數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為2x，
∴這個(gè)兩位自然數(shù)是10x+2x=12x，
∴這個(gè)兩位自然數(shù)是12x能被6整除，
∵依次輪換個(gè)位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為10×2x+x=21x
∴輪換個(gè)位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為21x能被7整除，
∴一個(gè)兩位自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，這個(gè)兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”．
（2）∵三位自然數(shù)$\overline{abc}$是3的一個(gè)“輪換數(shù)”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次輪換得到的三位自然數(shù)是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次輪換得到的三位自然數(shù)是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的個(gè)位數(shù)字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
當(dāng)b=0時(shí)，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴這個(gè)三位自然數(shù)可能是為201，203，205，207，209，
而203，205，209不能被3整除，
∴這個(gè)三位自然數(shù)為201，207，
當(dāng)b=5時(shí)，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴這個(gè)三位自然數(shù)可能是為251，255，257，259，
而251，257，259不能被3整除，
∴這個(gè)三位自然數(shù)為255，
即這個(gè)三位自然數(shù)為201，207，255．

點(diǎn)評(píng) 此題是數(shù)的整除性，主要考查了3的倍數(shù)，4的倍數(shù)，5的倍數(shù)的特點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是用5的倍數(shù)求出b的值．