Question

18．如圖，Rt△ABC的直角邊AC在x軸上，頂點A，B的坐標分別為A（10，0），B（6，8），直線y=kx分別交BC、AB與點M、N．
（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；
（2）若直線y=kx交線段AB與點N，當AN=2$\sqrt{5}$時，請說明直線y=kx垂直線段AB；
（3）在（2）的條件下，求MC的長．

Answer 1

分析 （1）設直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n，結合點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）過點N作NE⊥x軸于點E，由平行線的性質找出比例關系$\frac{NE}{BC}=\frac{EA}{CA}=\frac{AN}{AB}$，從而找出NE的長度，通過解直角三角形找出ON的長度，再根據(jù)勾股定理逆定理ON²+NA²=OA²，即可得出結論；
（3）由BC∥NE根據(jù)平行線的性質即可得出$\frac{MC}{NE}=\frac{OC}{OE}$，代入數(shù)據(jù)即可得出結論．

解答 解：（1）設直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n，
將點A（10，0）、B（6，8）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=10m+n}\\{8=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=20}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+20．
（2）過點N作NE⊥x軸于點E，如圖1所示．
∵∠ACB=90°，NE⊥x軸，
∴BC∥NE，
∴$\frac{NE}{BC}=\frac{EA}{CA}=\frac{AN}{AB}$．
∵點A（10，0），B（6，8），
∴AB=4$\sqrt{5}$，BC=8，AC=4，
∴NE=4，AE=2，
在Rt△OEN中，NE=4，OE=OA-AE=8，
∴ON=4$\sqrt{5}$，
∴ON²+NA²=OA²，
∴直線y=kx垂直線段AB．
（3）∵BC∥NE，
∴$\frac{MC}{NE}=\frac{OC}{OE}$．
∵OC=OA-AC=6，OE=8，NE=4，
∴MC=3．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線的性質以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用勾股定理來證垂直；（3）根據(jù)平行線的性質求出MC的長．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線分線段成比例來解決問題是關鍵．