【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.
(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊CD的長.
(2)如圖2,在(1)的條件下,擦去折痕AO、線段OP,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明變化規(guī)律.若不變,求出線段EF的長度.
【答案】(1)10;(2).
【解析】
(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP=AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42,求出x,最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長;
(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ=PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的結(jié)論求出PB=,最后代入EF=PB即可得出線段EF的長度不變
(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,
又∵∠D=∠C,
∴△OCP∽△PDA;
∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,
∴ ,∴ CP=AD=4
設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,
在Rt△PCO中,∠C=90°,由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42,
解得:x=5,∴AB=AP=2OP=10,∴邊CD的長為10;
(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2,
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP=∠MQP.∴MP=MQ,∵BN=PM,
∴BN=QM.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴EQ=PQ.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF,
∴△MFQ≌△NFB.
∴QF=FB,∴EF=EQ+QF=(PQ+QB)=PB,
由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,
∴PB=,∴EF=PB=2,
∴在(1)的條件下,當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長度不變,它的長度為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)D,連結(jié)AD(AD<AB),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE,連結(jié)DE,CE,BD.
(1)請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1;
(2)猜測(cè)BD和CE的數(shù)量關(guān)系并證明;
(3)作射線BD,CE交于點(diǎn)P,把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠EAC=90°,AB=2,AD=1時(shí),補(bǔ)全圖形,直接寫出PB的長.
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【題目】已知拋物線(是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn).
()求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).
()拋物線與軸另一交點(diǎn)為點(diǎn),與軸交于點(diǎn),平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn), ,與直線交于點(diǎn).
①求直線的解析式.
②若,結(jié)合函數(shù)的圖像,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=a(x﹣h)2﹣9交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.
(1)若A(﹣2,0),當(dāng)h=1時(shí),
①求拋物線的解析式.
②平行x軸的直線y=t交拋物線于M、N點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)),過M、N、C三點(diǎn)作⊙P.若MP⊥CP,求t值.
(2)如圖2,當(dāng)h=0時(shí),正比例函數(shù)y=kx交拋物線于E、F兩點(diǎn),直線AE、BF相交于T點(diǎn),求點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)軌跡.
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【題目】某水果超市經(jīng)銷一種進(jìn)價(jià)為18元/kg的水果,根據(jù)以前的銷售經(jīng)驗(yàn),該種水果的最佳銷售期為20天,銷售人員整理出這種水果的銷售單價(jià)y(元/kg)與第x天(1≤x≤20)的函數(shù)圖象如圖所示,而第x天(1≤x≤20)的銷售量m(kg)是x的一次函數(shù),滿足下表:
x(天) | 1 | 2 | 3 | … |
m(kg) | 20 | 24 | 28 | … |
(1)請(qǐng)分別寫出銷售單價(jià)y(元/kg)與x(天)之間及銷售量m(kg)是x(天)的之間的函數(shù)關(guān)系式
(2)求在銷售的第幾天時(shí),當(dāng)天的利潤最大,最大利潤是多少?
(3)請(qǐng)求出試銷的20天中當(dāng)天的銷售利潤不低于1680元的天數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程的兩根是一個(gè)矩形兩鄰邊的長.
(1)k取何值時(shí),方程在兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)矩形的對(duì)角線長為時(shí),求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(0,1)請(qǐng)解答下列問題:
(1)△ABC與△A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱,畫出△A1B1C1并直接寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(2)畫出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C,并求出線段AC旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C = 90°,點(diǎn)O是斜邊AB上一定點(diǎn),到點(diǎn)O的距離等于OB的所有點(diǎn)組成圖形W,圖形W與AB,BC分別交于點(diǎn)D,E,連接AE,DE,∠AED=∠B.
(1)判斷圖形W與AE所在直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.
(2)若,,求OB.
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【題目】如圖,在中,,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上,且是的直徑,的平分線與相交于點(diǎn).
(1)證明:直線是的切線;
(2)連接,若,,求邊的長.
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