Question

如圖①所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是經(jīng)過點A的直線，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點D、E．
（1）求證：DE=DB+EC
（2）如圖②，將MN繞點A旋轉(zhuǎn)，使MN和BC交于G點，其他條件不變，結(jié)論（1）還成立嗎？若成立請給出證明；若不成立，請?zhí)骄緾E、DB、DE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出△ABD≌△CEA，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出BD=AE，DA=CE，即可得出答案．
（2）求出△ABD≌△CAE，推出BD=AE，CE=AD，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵由題意可知，BD⊥MN與D，EC⊥MN與E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠CEA=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，∠ECA+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD與△CEA中，

∠DAB=∠ECA ∠ADB=∠CEA AB=AC

∴△ABD≌△CEA，
∴BD=AE，DA=CE，
∵DE=DA+AE，
∴DE=DB+EC．

（2）（1）的結(jié)論不成立，CE、DB、DE的關(guān)系是：BD=CE+DE，
證明：證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠AEC ∠BAD=∠ACE AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴BD=AE，CE=AD，
∵AE=AD+DE，
∴BD=CE+DE．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，證明過程類似．