【題目】(1)如圖1,AB∥CD,點(diǎn)E是在AB、CD之間,且在BD的左側(cè)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn),連結(jié)BE、DE.求證:∠E=∠ABE+∠CDE.
(2)如圖2,在(1)的條件下,作出∠EBD和∠EDB的平分線,兩線交于點(diǎn)F,猜想∠F、∠ABE、∠CDE之間的關(guān)系,并證明你的猜想.
(3)如圖3,在(1)的條件下,作出∠EBD的平分線和△EDB的外角平分線,兩線交于點(diǎn)G,猜想∠G、∠ABE、∠CDE之間的關(guān)系,并證明你的猜想.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)2∠G=∠ABE+∠CDE
【解析】
(1)利用平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出∠EBD+∠EDB=180°-(∠ABE+∠CDE),進(jìn)而得出∠DBF+∠BDF=90°- (∠ABE+∠CDE),最后用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;
(3)先由(1)知,∠BED=∠ABE+∠CDE,再利用角平分線的意義和三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
(1)如圖,
過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB,
∴∠BEH=∠ABE,
∵EH∥AB,CD∥AB,
∴EH∥CD,
∴∠DEH=∠CDE,
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE;
(2)2∠F-(∠ABE+∠CDE)=180°,
理由:由(1)知,∠BED=∠ABE+∠CDE,
∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°,
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-(∠ABE+∠CDE),
∵BF,DF分別是∠DBE,∠BDE的平分線,
∴∠EBD=2∠DBF,∠EDB=2∠BDF,
∴2∠DBF+2∠BDF=180°-(∠ABE+∠CDE),
∴∠DBF+∠BDF=90°-(∠ABE+∠CDE),
在△BDF中,∠F=180°-(∠DBF+∠BDF)=180°-[90°-(∠ABE+∠CDE)]=90°+(∠ABE+∠CDE),
即:2∠F-(∠ABE+∠CDE)=180°;
(3)2∠G=∠ABE+∠CDE,理由:如圖3,
由(1)知,∠BED=∠ABE+∠CDE,
∵BG是∠EBD的平分線,
∴∠DBE=2∠DBG,
∵DG是∠EDP的平分線,
∴∠EDP=2∠GDP,
∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2(∠GDP-∠DBG),
∴∠GDP-∠DBG=∠BED=(∠ABE+∠CDE)
∴∠G=∠GDP-∠DBG=(∠ABE+∠CDE),
∴2∠G=∠ABE+∠CDE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4),作出點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1,稱為第1次變換;再作出點(diǎn)P1關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P2,稱為第2次變換;再作點(diǎn)P2關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P3,稱為第3次變換,…,依次類推,則第2019次變換得到的點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為 ____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形,E是弦BD的中點(diǎn),點(diǎn)C是⊙O外一點(diǎn)且∠DBC=∠A,連接OE延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)F,與BC相交于點(diǎn)C.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為6,BC=8,求弦BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在AC、BC上,且CD=BE,
(1)求證:△ABE≌△BCD;
(2)求出∠AFB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正比例函數(shù)y=x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,反比例函數(shù)y=的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸,交y軸于點(diǎn)C,且AC=AB.求:
(1)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;
(2)直線AB的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠AOB=45°,求作∠AOP=22.5°,作法:
(1)以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交OA,OB于點(diǎn)N,M;
(2)分別以N,M為圓心,以O(shè)M長(zhǎng)為半徑在角的內(nèi)部畫(huà)弧交于點(diǎn)P;
(3)作射線OP,則OP為∠AOB的平分線,可得∠AOP=22.5°
根據(jù)以上作法,某同學(xué)有以下3種證明思路:
①可證明△OPN≌△OPM,得∠POA=∠POB,可得;
②可證明四邊形OMPN為菱形,OP,MN互相垂直平分,得∠POA=∠POB,可得;
③可證明△PMN為等邊三角形,OP,MN互相垂直平分,從而得∠POA=∠POB,可得.
你認(rèn)為該同學(xué)以上3種證明思路中,正確的有( 。
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班將舉行“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),班長(zhǎng)安排小明購(gòu)買獎(jiǎng)品,下面兩圖是小明買回獎(jiǎng)品時(shí)與班長(zhǎng)的對(duì)話情境:
請(qǐng)根據(jù)上面的信息,解決問(wèn)題:
(1)試計(jì)算兩種筆記本各買了多少本?
(2)請(qǐng)你解釋:小明為什么不可能找回68元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的倍,那么稱這樣的方程為“倍根方程”,例如,一元二次方程的兩個(gè)根是和,則方程就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程是“倍根方程”,則= .
(2)若關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”,則,,之間的關(guān)系為 .
(3)若是“倍根方程”,求代數(shù)式的值.
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