Question

如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，

BC

=

BD

，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）連接BC，若⊙O的半徑為4，cos∠BCD=

3

4

，求線段BC、CD的長．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）由BF是⊙O的切線得到AB⊥BF，進而得出AB⊥CD，由此即可證明CD∥BF；
（2）連接BD，由AB是直徑得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，所以cos∠BAD=

AD

AB

，然后利用三角函數(shù)即可求出AD的長，進而利用勾股定理求出BD的長，即可得出BC的長；由于cos∠DAE=

AE

AD

，而AD=6，由此求出AE，接著利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．

解答：（1）證明：∵BF是⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∵

BC

=

BD

，
∴AB⊥CD，
∴CD∥BF；

（2）解：連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，
∴cos∠BAD=

AD

AB

，
又∵AB=8，
∴AD=6，
∴BC=6；
∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=

AE

AD

，AD=6，
∴AE=ADcos∠DAE=6×

3

4

=

9

2

，
∴ED=

62-( 9 2 )2

=

3 7

2

，
∴CD=2ED=3

7

．

點評：本題考查了圓的切線性質及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．