Question

如圖，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，且AB=BM，點(diǎn)N（a，1）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N′的坐標(biāo)；
（3）在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)P，是的PM+PN的值最小，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在y軸的正半軸上是否也存在一點(diǎn)Q，使得QM+QN的值最�。咳舸嬖�，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先確定B（0，2），由于BO∥MH，且AB=BM，則OB為△AHM的中位線，則MH=2BO=4，再利用點(diǎn)M在直線y=2x+2上可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得到k=4；
（2）先利用點(diǎn)N（a，1）是反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)得到a=4，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（4，-1）；
（3）如圖1，連接M N′，交x軸的正半軸于點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判定此時PM+PN的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線M N′的解析式為y=-

5

3

x+

17

3

，然后計(jì)算函數(shù)值為0時的自變量的值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）與（3）一樣的方法求解．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=2x+2=2，則B（0，2），
∵BO∥MH，且AB=BM，
∴MH=2BO=4，
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)y=4時，2x+2=4，解得x=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4），
又∵M(jìn)在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴k=1×4=4；
（2）∵點(diǎn)N（a，1）是反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，
∴a=4，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
∵點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N′，
∴點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（4，-1）；
（3）如圖1，連接M N′，交x軸的正半軸于點(diǎn)P，
∵PN=PN′，
∴PM+PN=PM+PN′=MN′，
∴此時PM+PN的值最�。�
設(shè)直線MN′的解析式為y=kx+b，
把M（1，4），N′（4，-1）代入得

k+b=4 4k+b=-1

，解得

k=- 5 3 b= 17 3

，
∴直線M N′的解析式為y=-

5

3

x+

17

3

，
當(dāng)y=0時，-

5

3

x+

17

3

=0，解得x=

17

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

17

5

，0）；
（4）存在．
作M點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C，連結(jié)NC交y軸于Q，如圖，則C（-1，4），此時QM+QN的值最小，
設(shè)直線NC的解析式為y=mx+n，
把C（-1，4）、N（4，1）分別代入得

-m+n=4 4m+n=1

，解得

m=- 3 5 n= 17 5

，
∴直線NC的解析式為y=-

3

5

x+

17

5

，
當(dāng)x=0時，y=-

3

5

x+

17

5

=

17

5

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，

17

5

）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問題．