【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=α,點(diǎn)D在邊AC上(不與點(diǎn)A,C重合)連接BD,點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)CK,EK,CE,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角小于90°)
(1)如圖1,若α=45°,則△ECK的形狀為______;
(2)在(1)的條件下,若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得D,E,B三點(diǎn)共線,點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn),如圖2所示,求證:BE-AE=2CK;
(3)若△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí),使得D,E,B三點(diǎn)共線,點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn),請(qǐng)你直接寫出BE,AE,CK三者之間的數(shù)量關(guān)系(用含α的三角函數(shù)表示).
【答案】(1)△ECK是等腰直角三角形;(2)見解析; (3)BE-AEtanα=2CK.理由見解析.
【解析】
(1)利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)證明EK=KC,∠EKC =90°即可;
(2)在BD上截取BG=DE,連接CG,設(shè)AC交BF于Q,結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用SAS可證△AEC≌△BGC,由全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)易證△ECG是等腰直角三角形,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CK=EK=KG,等量代換可得結(jié)論.
(3)在BD上截取BG=DE,連接CG,設(shè)AC交BE于Q,根據(jù)等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG,由tanα的表示可得=,易證△CAE∽△CBG,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等量代換可得結(jié)論.
(1)解:結(jié)論:△ECK是等腰直角三角形.
理由:如圖1中,
∵∠A=45°,∠ACB=90°,
∴∠A=∠CBA=45°,
∴CA=CB,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∵DK=KB,
∴EK=KB=DK=BD,
∴∠KEB=∠KBE,
∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE,
∵∠DCB=90°,DK=KB,
∴CK=KB=KD=BD,
∴∠KCB=∠KBC,EK=KC,
∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC,
∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2(∠KBE+∠KBC)=2∠ABC=90°,
∴△ECK是等腰直角三角形.
(2)證明:如圖2中,在BD上截取BG=DE,連接CG,設(shè)AC交BF于Q.
∵∠α=45°,DE⊥AE,
∴∠AED=90°,∠DAE=45°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE=AE=BG,
∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∵AC=BC,
∴△AEC≌△BGC(SAS),
∴CE=CG,∠5=∠BCG,
∴∠ECG=∠ACB=90°,
∴△ECG是等腰直角三角形,
∵KD=KB,DE=BG,
∴KE=KG,
∴CK=EK=KG,
∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK.
(3)解:結(jié)論:BE-AEtanα=2CK.
理由:如圖3中,在BD上截取BG=DE,連接CG,設(shè)AC交BE于Q.
,∠ACB=90°,
∠CAE=∠CBG,
在RtACB中,tanα=,
在Rt△ADE中,tanα==,
∴=,
∴△CAE∽△CBG,
∴∠ACE=∠BCG,
∴∠ECG=∠ACB=90°,
∵KD=KB,DE=BG,
∴KE=KG,
∴EG=2CK,
∵BE-BG=EG=2CK,
∴BE-DE=2CK,
∴BE-AEtanα=2CK.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小明在一次測(cè)驗(yàn)中解答的填空題:①若x2 =1,則x=1; ②方程x(x-1)=x-1的解是x=2;③已知三角形兩邊分別為2和9,第三邊長(zhǎng)是方程x 2-14x+48=0的根,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是17或19;④方程的解是x=3,試卷中每個(gè)填空題5分,最后小明填空題的得分是( 。
A.0分B.5分C.10分D.15分
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【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) O,以 O 為圓心作圓,⊙O 與 AC 相切于點(diǎn) D.
(1)試判斷 AB 與⊙O 的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)在 Rt△ABC 中,若 AC=6,AB=3,求切線 AD 的長(zhǎng).
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【題目】小明在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí),針對(duì)“求一元二次方程的解”,整理了以下的幾種方法,請(qǐng)你將有關(guān)內(nèi)容補(bǔ)充完整.例題:求一元二次方程的兩個(gè)解.
(1)解法一:選擇合適的一種方法(公式法、配方法、分解因式法)求解.解方程:;
(2)解法二:利用二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求解,如圖1所示,把方程的解看成是二次函數(shù)y= 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即x1,x2就是方程的解.
(3)解法三:利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.
①把方程的解看成是一個(gè)二次函數(shù)y= 的圖象與一個(gè)一次函數(shù)y= 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo);
②畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象,用x1,x2在x軸上標(biāo)出方程的解.
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【題目】某市旅游景區(qū)有A,B,C,D,E等著名景點(diǎn),該市旅游部門統(tǒng)計(jì)繪制出2018年春節(jié)期間旅游情況統(tǒng)計(jì)圖(如圖),根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)2018年春節(jié)期間,該市A,B,C,D,E這五個(gè)景點(diǎn)共接待游客 萬人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中E景點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)甲,乙兩個(gè)旅行團(tuán)在A,B,D三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè),這兩個(gè)旅行團(tuán)選中同一景點(diǎn)的概率是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小雪和小松分別從家和圖書館出發(fā),沿同一條筆直的馬路相向而行.小雪開始跑步,中途在某地改為步行,且步行的速度為跑步速度的一半,小雪先出發(fā)5分鐘后,小松才騎自行車勻速回家.小雪到達(dá)圖書館恰好用了35分鐘.兩人之間的距離y(m)與小雪離開出發(fā)地的時(shí)間x(min)之間的函數(shù)圖象如圖所示,則當(dāng)小松剛到家時(shí),小雪離圖書館的距離為____米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn).對(duì)稱軸為直線,點(diǎn)在拋物線上.
(1)如圖1,為直線下方拋物線上的一點(diǎn),連接、.當(dāng)的面積最大時(shí),在直線上取一點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為點(diǎn),連接,.若時(shí),求的值;
(2)將拋物線沿軸正方向平移得到新拋物線,經(jīng)過原點(diǎn).與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為.設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在直線上,能否成為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若能、直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),若不能,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖1,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,D是⊙O外一點(diǎn)且滿足∠DCA=∠B,連接AD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AD⊥CD,AB=10,AD=8,求AC的長(zhǎng);
(3)如圖2,當(dāng)∠DAB=45°時(shí),AD與⊙O交于E點(diǎn),試寫出AC、EC、BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
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【題目】如圖1中, ,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿折線運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,的面積為),關(guān)于的函數(shù)圖象由兩段組成,如圖2所示,有下列結(jié)論:①;②:③圖象段的函數(shù)表達(dá)式為;④面積的最大值為8,其中正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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