Question

如圖，把一個(gè)等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE=BC=13，AB=24．三角板的一個(gè)45°角的頂點(diǎn)放在A處，且直角邊AE在矩形內(nèi)部繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中EM與CD交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，試問線段DF與EF的有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）如圖1，是否存在△ECB為等腰三角形？若存在，求出DF的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．繼續(xù)以下探索：
（3）如圖2，以AD為邊在矩形內(nèi)部作正方形ADHI，直角邊EM所在的直線交HI于O，交AB于G．設(shè)DF=x，OH=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）連接AF．先由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=13，∠D=90°，則AD=AE=13，再利用HL證明△ADF≌△AEF，即可得出DF=EF；
（2）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)BE=BC=13時(shí)，過E作EP⊥CD于P，延長(zhǎng)PE交AB于Q．先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AQ=

1

2

AB=12，在Rt△AEQ中，運(yùn)用勾股定理得出EQ=5，則PE=8，再設(shè)DF=x，在Rt△PEF中，運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可；②當(dāng)EC=BC=13時(shí)，連接AC．由AE+EC=13+13＜AC=

745

，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出△AEC不存在，即不可能出現(xiàn)EC=BC；③當(dāng)EC=EB時(shí)，過E作EP⊥CD于P，延長(zhǎng)PE交AB于Q，先由EC=EB，得出E在BC的垂直平分線上，則PE=EQ=

13

2

，再解Rt△AQE，得到∠EAQ=30°，由同角的余角相等得出∠PEF=30°，然后解Rt△PEF即可；
（3）先仿照（1）得出OE=OI，則由OI=HI-OH=13-y，得出OF=13-y+x，然后在Rt△OFH中，運(yùn)用勾股定理得出OH²+FH²=OF²，即y²+（13-x）²=（13-y+x）²，整理后即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）線段DF與EF相等，理由如下：
如圖1，連接AF．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=13，∠D=90°，
∵AE=BC=13，
∴AD=AE=13．
在△ADF與△AEF中，∠D=∠E=90°，

AF=AF AD=AE

，
∴△ADF≌△AEF（HL），
∴DF=EF；

（2）分三種情況：
①如圖2，當(dāng)BE=BC=13時(shí)，過E作EP⊥CD于P，延長(zhǎng)PE交AB于Q，則PQ⊥AB，AQPD是矩形．
∵AE=BC，BE=BC，
∴AE=BE，
∵EQ⊥AB，
∴AQ=QB=

1

2

AB=12．
在Rt△AEQ中，∵∠AQE=90°，AE=13，AQ=12，
∴EQ=

132-122

=5，
∴PE=PQ-EQ=13-5=8．
設(shè)DF=x，則EF=x，F(xiàn)P=12-x，
在Rt△PEF中，∵∠EPF=90°，
∴PE²+FP²=EF²，
即8²+（12-x）²=x²，
解得x=

26

3

，
∴DF=

26

3

；
②如圖3，當(dāng)EC=BC=13時(shí)，連接AC．
∵AE=BC=13，EC=BC=13，
∴AE=EC=13．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=24，BC=13，
∴AC=

242+132

=

745

，
∵AE+EC=13+13＜

745

，
∴△AEC不存在，
∴不可能出現(xiàn)EC=BC；
③如圖3，當(dāng)EC=EB時(shí)，過E作EP⊥CD于P，延長(zhǎng)PE交AB于Q，則PQ⊥AB，AQPD是矩形．
∵EC=EB，
∴E在BC的垂直平分線上，
∴PE=EQ=

13

2

．
∵EQ=

1

2

AE，∠AQE=90°，
∴∠EAQ=30°，
∴∠PEF=∠EAQ=90°-∠AEQ=30°，
∴EF=

PE

cos30°

=

13 3

3

，
∴DF=EF=

13 3

3

；
綜上所述，存在△ECB為等腰三角形，此時(shí)DF的長(zhǎng)

26

3

或

13 3

3

；

（3）如圖5，同（1）可證OE=OI，
∴OF=OE+EF=OI+DF=OI+x，
∵OI=HI-OH=13-y，
∴OF=13-y+x．
在Rt△OFH中，∵∠OHF=90°，
∴OH²+FH²=OF²，
又∵OH=y，F(xiàn)H=13-x，OF=13-y+x，
∴y²+（13-x）²=（13-y+x）²，
∴y=

26x

x+13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形、全等三角形、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，等腰三角形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想是解題的關(guān)鍵．