Question

如圖，已知：△ABC為邊長是的等邊三角形，四邊形DEFG為邊長是6的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿EF方向向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)暫停運(yùn)動，設(shè)△ABC的運(yùn)動時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）在整個(gè)運(yùn)動過程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，作∠ABE的角平分線BM交AE于M點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線段AG上是否存在H點(diǎn)，使得△ANH為等腰三角形．如果存在，請求出線段EH的長度；若不存在，請說明理由．

（3）如圖3，若四邊形DEFG為邊長為的正方形，△ABC的移動速度為每秒個(gè)單位長度，其余條件保持不變．△ABC開始移動的同時(shí)，Q點(diǎn)從F點(diǎn)開始，沿折線FG﹣GD以每秒個(gè)單位長度開始移動，△ABC停止運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)在運(yùn)動過程中，DE交折線BA﹣AC于P點(diǎn)，則是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）見解析

（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出時(shí)重疊部分的面積，當(dāng)時(shí)用S_△ABC﹣就可以求出重疊部分的面積．

（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出EH的值，①AN=AH=4時(shí)，②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長線上，③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AG的中垂線與AG的交點(diǎn)，從而可以求出答案．

（3）再運(yùn)動中當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，如圖3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．

解：（1）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，．

（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，，

∵BM平分∠ABE，

∴

∴ME=2，

∵∠ABM=∠BAM，

∴AM=BM=4，

∵△ABM≌△ACN，

∴∠CAN=30°，AN=4

①AN=AH=4時(shí)，，

②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長線上，∴舍去，

③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AG的中垂線與AG的交點(diǎn)，如圖1，

∴，

∴．

（3）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，

∴，

∴，

∴；

當(dāng)2≤t≤4時(shí)，如圖3，△PEC∽△QDE，

∴，

∴，

∴

∴，

∴t₁=4，．

點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．