Question

19．已知，拋物線y=ax²-（a+m-2）x-a-2m+4與x軸交于A（-1，0），B（x，0）兩點，與y軸負半軸交于點C，且OA+OB=OC+1．
（1）求拋物線的解析式．
（2）過點D（0，2）作直線l交拋物線于M，N兩點，且S_△OMN=2$\sqrt{6}$，求直線l的解析式．

Answer 1

分析 （1）先把A點坐標代入解析式得到m=a+2，再把m=a+2代入解析式得y=ax²-2ax-3a，通過解方程ax²-2ax-3a=0得B（3，0），然后OA+OB=OC+1得3a+1=1+3，解得a=1，于是可得拋物線解析式；
（2）設(shè)直線l的解析式為y=kx+2，M點和N點的橫坐標分別為α、β，利用拋物線與直線的交點問題，可把α、β看作方程x²-2x-3=kx+2的兩根，則α+β=k+2，αβ=-5，再根據(jù)三角形面積公式，利用S_△OMN=S_△MOD+S_△NOD得到|β-α|=2$\sqrt{6}$，然后利用完全平方公式變形和整體代入的方法得到關(guān)于k的方程，再方程求出k的值即可得到直線l的解析式．

解答 解：（1）當x=-1時，a+a+m-2-a-2m+4=0，則m=a+2，
所以y=ax²-2ax-3a，
當y=0時，ax²-2ax-3a=0，解得x₁=-1，x₂=3，則B（3，0），
所以O(shè)A=1，OB=3，
而OA+OB=OC+1，OC=|-3a|=3a，
所以3a+1=1+3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）設(shè)直線l的解析式為y=kx+2，M點和N點的橫坐標分別為α、β，
則α、β為方程x²-2x-3=kx+2的兩根，
方程整理為x²-（k+2）x-5=0，
所以α+β=k+2，αβ=-5，
因為S_△OMN=S_△MOD+S_△NOD=$\frac{1}{2}$•OD•|β-α|，
所以$\frac{1}{2}$•2•|β-α|=2$\sqrt{6}$，即|β-α|=2$\sqrt{6}$，
因為（β-α）²=24，則（β+α）²-4αβ=24，
所以（k-2）²-4×（-5）=24，解得k₁=0，k₂=-4，
所以直線l的解析式為y=2或y=-4x+2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．把拋物線與直線的交點問題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系問題是解決（2）小題的關(guān)鍵．