【題目】已知△ABC的邊AB是⊙O的弦.
(1)如圖1,若AB是⊙O的直徑,AB=AC,BC交⊙O于點D,且DM⊥AC于M,請判斷直線DM與⊙O的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)如圖2,AC交⊙O于點E,若E恰好是的中點,點E到AB的距離是8,且AB長為24,求⊙O的半徑長.
【答案】(1)DM是⊙O的切線,證明見解析;(2)13.
【解析】(1)根據(jù)圓與等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB=∠C,從而得到OD∥AC,再利用平行線的性質(zhì)和切線的判定定理即可證明;
(2)利用垂徑定理及勾股定理即可求解.
證明:(1)連接OD.
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DM⊥AC,
∴DM⊥OD,
∴DM是⊙O的切線.
(2)連接OA、連接OE交AB于點H,
∵E 是中點,AB=24,
∴OE⊥AB,AH=AB=12,
連接OA,設(shè)OA=x,
∵EH=8,可得OH=x﹣8,
在Rt△OAH中,根據(jù)勾股定理可得(x﹣8)2+122=x2,
解得x=13,
∴⊙O的半徑為13.
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【題目】讀一讀:式子“1+2+3+4+5+……+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和.由于上述式子比較長,書寫也不方便,為了簡便起見,我們可將“1+2+3+4+5+……+100”表示為,這里“”是求和符號.例如:“1+3+5+7+9+……+99”(即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和)可表示為;又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示為.同學(xué)們,通過對以上材料的閱讀,請解答下列問題:
①2+4+6+8+10+……+100(即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和)用求和符號可表示為 ;
②計算:= (填寫最后的計算結(jié)果).
③求:的值.(寫出必要的過程)
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【題目】某商品的進價為每件40元,當(dāng)售價為每件60元時,每星期可賣出300件;現(xiàn)需降價處理,且經(jīng)市場調(diào)查:每降價1元,每星期可多賣出20件.現(xiàn)在要使每星期利潤為6125元,設(shè)每件商品應(yīng)降價x元,則可列方程為( )
A. (20+x)(300+20x)=6125 B. (20-x)(300-20x)=6125
C. (20-x)(300+20x)=6125 D. (20+x)(300-20x)=6125
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【題目】觀察算式:; ;;,...請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:
(1)_________.
(2)用含n 的等式表示上面的規(guī)律:__________.
(3)用找到的規(guī)律解決下面的問題:計算:.
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【題目】已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a與y軸交于C點,交x軸于A、B,且OB=OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,直線l:y=x+b(b<0)交x軸于M,交y軸于N.將△MON沿直線l翻折,得到△MPN,點O的對應(yīng)點為P.若O的對應(yīng)點P恰好落在拋物線上,求直線l的解析式;
(3)如圖2,將原拋物線向左平移1個單位,向下平移t個單位,得到新拋物線C1.若直線y=m與新拋物線C1交于P、Q兩點,點M是新拋物線C1上一動點,連接PM,并將直線PM沿y=m翻折交新拋物線C1于N,過Q作QT∥y軸,交MN于點T,求的值.
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【題目】(1)如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點,G是AD上一點,∠ECG=45°,那么EG與圖中兩條線段的和相等?證明你的結(jié)論.
(2)請用(1)中所積累的經(jīng)驗和知識完成此題,如圖,在四邊形ABCG中,AG//BC(BC>AG),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點,且∠ECG=45°,BE=4,求EG的長?
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【題目】隨著地鐵和共享單車的發(fā)展,“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇.李華從文化宮站出發(fā),先乘坐地鐵,準(zhǔn)備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵,再騎共享單車回家.設(shè)他出地鐵的站點與文化宮距離為x(單位:千米),乘坐地鐵的時間y1(單位:分鐘)是關(guān)于x的一次函數(shù),其關(guān)系如下表:
地鐵站 | A | B | C | D | E |
x(千米) | 8 | 9 | 10 | 11.5 | 13 |
y1(分鐘) | 18 | 20 | 22 | 25 | 28 |
(1)求y1關(guān)于x的函數(shù)表達式;
(2)李華騎單車的時間y2(單位:分鐘)也受x的影響,其關(guān)系可以用y2=x2-11x+78來描述,請問:李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵,才能使他從文化宮回到家所需的時間最短?并求出最短時間.
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【題目】如圖,菱形OABC的一邊OA在x軸的負半軸上,O是坐標(biāo)原點,tan∠AOC=,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C,與AB交于點D,若△COD的面積為20,則k的值等于_____.
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【題目】數(shù)學(xué)課上,老師隨手在黑板上寫下了下列7個有理數(shù):,0,,3,,-2019,-1.
(1)請你指出哪些是整數(shù)?哪些是負整數(shù)?哪些是負分?jǐn)?shù)?
(2)若選擇其中的四個整數(shù),將這四個整數(shù)經(jīng)過有理數(shù)的混合運算后,能否得出結(jié)果為-1?若能,寫出算式,并寫出計算過程;若不能,請說明理由.
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