Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，一次函數(shù)y=2x+b的圖象與x軸相交于點B，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象相交于點A（1，4）．
（1）求k、b的值；
（2）如圖1，以AB為直徑作圓，點C是圓在第二象限內(nèi)一點，若∠ABC=45°，求出點C的坐標(biāo)；
（3）將直線AB繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，與x軸交于點N，與y軸交于點M，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點D．
①如圖2，若點D位于點A的下方，過點D作x軸的平行線與線段AB交于點E，當(dāng)△BDE的面積最大時，請求出點D的坐標(biāo)；
②在x軸上是否存在點N，使OA²=AM•AN？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出k、b的值．
（2）連接AC，過點C作CQ⊥OB于點Q，過點A作AP⊥CQ交QC的延長線于點P，如圖1．易證△APC≌△CQB，則有AP=CQ，PC=QB．設(shè)QB=a，可以用a的代數(shù)式表示PQ，根據(jù)PQ=4即可求出a的值，就可求出點C的坐標(biāo)．
（3）①如圖2，設(shè)點D的縱坐標(biāo)為t，從而可用t的代數(shù)式表示出點E、點D的橫坐標(biāo)，進而表示出DE及S_△BDE，然后運用配方法就可解決問題；
②過點A作AH⊥x軸于點H，過點A作AG⊥y軸于點G，如圖3，設(shè)過點A（1，4）的直線的解析式為y=kx+b，則有b=4-k，從而得到點M、點N的坐標(biāo)，然后分別在Rt△AHO、Rt△AGM、Rt△AHN中，運用勾股定理表示出OA²、AM²、AN²，從而由OA²=AM•AN就可得到關(guān)于k的方程，求出k的值后，就可得到點N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點A（1，4）是直線y=2x+b與反比例函數(shù)y=

k

x

圖象的一個交點，
∴2+b=4，k=1×4=4，
∴b=2，k=4．

（2）連接AC，過點C作CQ⊥OB于點Q，過點A作AP⊥CQ交QC的延長線于點P，如圖1．
則有∠P=∠BQC=90°．
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°-∠QCB=∠CBQ．
∵∠ABC=45°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，∴AC=BC．
在△APC和△CQB中，

∠P=∠BQC ∠ACP=∠CBQ AC=CB

，
∴△APC≌△CQB（AAS），
∴AP=CQ，PC=QB．
∵點B是直線y=2x+2與x軸的交點，
∴點B的坐標(biāo)為（-1，0），
∴OB=1．
設(shè)QB=a，則有PC=a，OQ=a+1，
∵點A的坐標(biāo)為（1，4），
∴CQ=AP=1+a+1=a+2，PQ=4，
∴PQ=PC+CQ=a+a+2=2a+2=4，
解得a=1，
∴OQ=a+1=2，CQ=a+2=3，
∵點C在第二象限，
∴點C的坐標(biāo)為（-2，3）．

（3）①如圖2，設(shè)點D的縱坐標(biāo)為t．
∵DE∥x軸，∴點E的縱坐標(biāo)為t．
∵點D在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上，∴x_D=

4

t

．
∵點E在直線y=2x+2上，∴x_E=

t-2

2

．
∵點D位于點A的下方，
∴DE=x_D-x_E=

4

t

-

t-2

2

=

4

t

-

t

2

+1，
∴S_△BDE=

1

2

×（

4

t

-

t

2

+1）×t
=

1

2

×（4-

1

2

t²+t）
=2-

1

4

t²+

1

2

t
=-

1

4

（t²-2t+1-1）+2
=-

1

4

（t-1）²+

1

4

+2
=-

1

4

（t-1）²+

9

4

，
∵-

1

4

＜0，∴當(dāng)t=1時，△BDE的面積取最大值，此時點D的坐標(biāo)為（4，1）．
②過點A作AH⊥x軸于點H，過點A作AG⊥y軸于點G，如圖3，
則有∠AGM=∠AHO=∠AHN=90°．
設(shè)過點A（1，4）的直線的解析式為y=kx+b，
則有k+b=4，即b=4-k，∴y=kx+4-k．
∵直線y=kx+4-k與x軸交于點N，與y軸交于點M，
∴點M的坐標(biāo)為（0，4-k），點N的坐標(biāo)為（

k-4

k

，0），
在Rt△AHO中，OA²=OH²+AH²=1+16=17．
在Rt△AGM中，AM²=AG²+GM²=1²+（4-k-4）²=1+k²．
在Rt△AHN中，AN²=AH²+HN²=4²+（

k-4

k

-1）²=16+

16

k2

．
若OA²=AM•AN，則OA⁴=AM²•AN²，
∴17²=（1+k²）（16+

16

k2

）
=16（1+k²）•

k2+1

k2

=16（

k2+1

k

）²，
∴（

k2+1

k

）²=

172

16

，
∴

k2+1

k

=

17

4

或

k2+1

k

=-

17

4

，
整理得：4k²-17k+4=0或4k²+17k+4=0，
解得：k₁=

1

4

，k₂=4，k₃=-

1

4

，k₄=-4．
∴點N的坐標(biāo)為（-15，0），（0，0），（17，0），（2，0）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、一次函數(shù)及反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程等知識，而構(gòu)造全等三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運用配方法是解決第（3）①小題的關(guān)鍵，運用勾股定理則是解決第（3）②小題的關(guān)鍵．