Question

如圖，已知AD是∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E，交BC延長線于F．求證：
（1）∠B=∠FAC；
（2）DE∥AC．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF，由等邊對等角得到∠FAD=∠FDA，再根據(jù)角平分線定義得出∠BAD=∠CAD，從而利用三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)即可證明∠B=∠FAC；
（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=DE，由等邊對等角得到∠ADE=∠EAD，而∠EAD=∠CAD，等量代換得出∠ADE=∠CAD，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可證明DE∥AC．

解答：證明：（1）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FAC=∠B；

（2）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠EAD，
∵∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴DE∥AC．

點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義，平行線的判定等知識點(diǎn)的運(yùn)用，難度適中，培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．