Question

如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=，與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（—1，0）.

（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)C作CD//x軸交拋物線于點(diǎn)D，連接AD交y軸于點(diǎn)E，連接AC，設(shè)△AEC的面積為S₁, △DEC的面積為S₂，求S₁：S₂的值；
（3）點(diǎn)F坐標(biāo)為（6，0），連接D，在（2）的條件下，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長的速度沿E→C→D→F勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長的速度沿F→A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?請(qǐng)直接寫出所有符合條件的t值..

Answer 1

解：（1）
（2）
（3）當(dāng)時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形。

試題分析：（1）由∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=和經(jīng)過點(diǎn)A（—1，0），得，解之即可得拋物線的解析式。
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=，∴①。
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（—1，0），∴②。
聯(lián)立①②，解得。
∴拋物線的解析式為。
（2）根據(jù)相似三角形和等高三角形的性質(zhì)，可得和，從而，即S₁：S₂=。
在中令x=0得，∴C（0，4）。
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=，CD//x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴D（3，4）。
又OA=1，CD=3，
∵CD//x軸，∴△AEO∽△DEC�！�③。
又∵△AEO和△AEC是兩等高三角形，∴④。
③÷④，得，即S₁：S₂=。
（3）分四種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在EC上運(yùn)動(dòng)，∠PDQ=90⁰時(shí)，如圖1，

過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則CD=3，PC= 3—3t，GD=4，QG=3—2t，
由△PCD∽△QGD得，即，解得。
②當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，∠PDQ=90⁰時(shí)，如圖2，

OQ=6—2t，CD=3，此時(shí)，OQDC是矩形。由OQ=CD，即6—2t=3解得。
③當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，∠QPD=90⁰時(shí)，如圖3，

OQ=6—2t，CP=3t—3，此時(shí)，OQPC是矩形。由OQ=CP，6—2t=3t—3解得。
④當(dāng)點(diǎn)P在DF上運(yùn)動(dòng)，∠QPD=90⁰時(shí)，如圖4，

由D（3，4），F(xiàn)（6，0），根據(jù)勾股定理可得DF=5。
過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則DF=5，GF=3， PF= 11—3t， QF=2t，
由△FPQ∽△FGD得，即，解得。
綜上所述，當(dāng)時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形。