Question

如圖，△ABC的二條高AD，CF相交于點H，D，F(xiàn)分別為垂足，AD的延長線交△ABC的外接圓于點E，求證：HD=DE．

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)CE，如圖，利用等角的余角相得到∠1=∠3，再根據(jù)圓周角定理得到∠2=∠3，則∠1=∠2，加上CD⊥HE，則可判斷△CEH為等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得HD=DE．

解答：證明：連結(jié)CE，如圖，
∵AD和CF為△ABC的高，
∴∠1+∠B=90°，∠3+∠B=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
而CD⊥HE，
∴△CEH為等腰三角形，
∴HD=DE．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．