Question

如圖，點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B，已知拋物線y=

1

6

x2+bx+c過點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象；
（2）求出拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，并確定與圓M的位置關(guān)系；
（3）點(diǎn)Q（8，m）在拋物線y=

1

6

x2+bx+c上，點(diǎn)P為此拋物線對稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ+PB的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)⊙M圓心的坐標(biāo)和半徑的長，可表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式，也就能得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于拋物線和圓都是軸對稱圖形，那么點(diǎn)D、M都在拋物線的對稱軸上，可根據(jù)圓的半徑來判定點(diǎn)D和圓M的位置關(guān)系．
（3）根據(jù)拋物線的解析式，即可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；由于A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，那么連接QA，直線QA與拋物線對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PQ+PB的最小值為QA的長，根據(jù)Q、A的坐標(biāo)即可求得QA的長，由此得解．

解答：解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=

1

6

x2+bx+c過點(diǎn)A和B，則：

1 6 ×22+2b+c=0 1 6 ×62+6b+c=0

，
解得

b=- 4 3 c=2

；
則拋物線的解析式為y=

1

6

x2-

4

3

x+2．
故C（0，2）．（3分）
（說明：拋物線的大致圖象要過點(diǎn)A、B、C，其開口方向、頂點(diǎn)和對稱軸相對準(zhǔn)確）（4分）

（2）由（1）得：y=

1

6

x2-

4

3

x+2=

1

6

（x-4）²-

2

3

；
故D（4，-

2

3

），D點(diǎn)在圓內(nèi)．（7分）

（3）如圖，拋物線對稱軸l是x=4；
∵Q（8，m）拋物線上，
∴m=2；
過點(diǎn)Q作QK⊥x軸于點(diǎn)K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=

AK2+QK2

=2

10

；（10分）
又∵B（6，0）與A（2，0）關(guān)于對稱軸l對稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2

10

．（12分）

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及平面展開-最短路徑等相關(guān)知識(shí)，難度適中．