Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過A作BC的平行線交CE的延長線F，且AF=BD，連結BF．
（1）求證：BD=CD；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論；
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD為正方形？（寫出條件即可，不要求證明）

Answer 1

考點：正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定

專題：

分析：（1）證明△AEF≌△DEC可得AF=DC，再根據(jù)條件AF=BD可利用等量代換可得BD=CD；
（2）首先判定四邊形AFBD為平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，進而可得四邊形AFBD為矩形；
（3）當AB=AC，且∠BAC=90°時，四邊形AFBD為正方形，首先證明∠ABC=45°，∠BAD=45°，可得AD=BD，進而可得四邊形AFBD為正方形．

解答： （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠ECD．
∵E是AD的中點，
∴DE=AE，
在△AEF與△DEC中，

∠AFE=∠ECD ∠AEF=∠DEC AE=ED

，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；

（2）答：四邊形AFBD為矩形；
解：∵AF=BD，AF∥BD，
∴四邊形AFBD為平行四邊形，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴四邊形AFBD為矩形；

（3）AB=AC，且∠BAC=90°；
∵AB=AC，且∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=45°，
∴AD=DB，
∴四邊形AFBD為正方形．

點評：此題主要考查了正方形的判定，矩形的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是掌握鄰邊相等的矩形是正方形．