Question

已知關(guān)于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）判斷方程是否有實(shí)數(shù)根？
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂．若y是m的函數(shù)，且y=（x₁-2）（x₂-2），求這個(gè)函數(shù)解析式．
（3）在（2）中，當(dāng)自變量m取值滿足什么條件時(shí)，y＜-2m？

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）先分兩種情況討論，當(dāng)m=0時(shí)方程的解為1和當(dāng)m≠0時(shí)，△=b²-4ac=m+2）²≥0有實(shí)數(shù)根，得出無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

，代入y=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4，計(jì)算即可求出這個(gè)函數(shù)解析式為y=-

2

m

；
（3）由y＜-2m得出-

2

m

＜-2m，根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合m＞0，即可求解．

解答：解：（1）①當(dāng)m=0時(shí)，方程為-2x+2=0，x=1，此一元一次方程有實(shí)根，
②當(dāng)m≠0時(shí)，方程為一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
∵a=m，b=-（3m+2），c=2m+2，
∴△=b²-4ac=[-（3m+2）]²-4m×（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵（m+2）²≥0，
∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；

（2）由題意，得x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

，
∵y=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4，
∴y=

2m+2

m

-2×

3m+2

m

+4=-

2

m

，
故這個(gè)函數(shù)解析式為y=-

2

m

；

（3）∵y＜-2m，
∴-

2

m

＜-2m，
∴

2

m

＞2m，
∵m＞0，
∴2＞2m²，
∴m²＜1，
∴-1＜m＜1，
∵m＞0，
∴0＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的解法，難度適中．