Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=x²-4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．直線x=m（m＞2）與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在直線x=m（m＞2）上有一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=x²-4上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=0，y=0分別代入求出y、x即可；
（2）設(shè)P（m，y），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出y即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AB=4，求出Q的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式，求出m即可．

解答：解：（1）y=x²-4，
x=0時(shí)，y=-4，
y=0時(shí)，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-4），
答：A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），（0，-4）．

（2）設(shè)P（m，y），
∵以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，
∠PDB=∠BOC=90°，BD=m-2，DP=y，OD=4，OB=2，
只要

PD

OB

=

BD

OD

或

PD

OD

=

BD

OB

就行，
代入得：

y

2

=

m-2

4

或 

y

4

=

m-2

2

，
解得：y=

1

2

m-1，y=2m-4
∴P（m，

1

2

m-1），（m，2m-4），
答：P的坐標(biāo)是（m，

1

2

m-1），（m，2m-4）．

（3）∵平行四邊形ABPQ，
∴PQ=AB=4，
則Q的坐標(biāo)是（m-4，

1

2

m-1）或（m-4，2m-4），
代入y=x²-4得：

1

2

m-1=（m-4）²-4或2m-4=（m-4）²-4，
解得：m₁=6.5＞4，m₂=2＜4（舍去），m₃=2＜4（舍去），m₄=8＞4，
答：拋物線y=x²-4上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，m的值是6.5或8．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．