Question

已知，如圖，二次函數y=ax²+2ax-3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側），點H、B關于直線l：y=

3

3

x+

3

對稱．
（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；
（2）求二次函數解析式；
（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出方程ax²+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A點坐標和B點坐標；把A的坐標代入直線l即可判斷A是否在直線上；
（2）根據點H、B關于過A點的直線l：y=

3

3

x+

3

對稱，得出AH=AB=4，過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，求出AC和HC的長，得出頂點H的坐標，代入二次函數解析式，求出a，即可得到二次函數解析式；
（3）解方程組

y= 3 3 x+ 3 y= 3 x- 3

，即可求出K的坐標，根據點H、B關于直線AK對稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答：解：（1）依題意，得ax²+2ax-3a=0（a≠0），
兩邊都除以a得：
即x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點在A點右側，
∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），
答：A、B兩點坐標分別是（-3，0），（1，0）．

證明：∵直線l：y=

3

3

x+

3

，
當x=-3時，y=

3

3

×(-3)+

3

=0，
∴點A在直線l上．

（2）∵點H、B關于過A點的直線l：y=

3

3

x+

3

對稱，
∴AH=AB=4，
過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，
則AC=

1

2

AB=2，HC=2

3

，
∴頂點H(-1，2

3

)，
代入二次函數解析式，解得a=-

3

2

，
∴二次函數解析式為y=-

3

2

x2-

3

x+

3 3

2

，
答：二次函數解析式為y=-

3

2

x2-

3

x+

3 3

2

．

（3）直線AH的解析式為y=

3

x+3

3

，
直線BK的解析式為y=

3

x-

3

，
由

y= 3 3 x+ 3 y= 3 x- 3

，
解得

x=3 y=2 3

，
即K(3，2

3

)，
則BK=4，
∵點H、B關于直線AK對稱，K（3，2

3

），
∴HN+MN的最小值是MB，
過K作KD⊥x軸于D，作點K關于直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，
則QM=MK，QE=EK=2

3

，AE⊥QK，
∴根據兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=

BK2+QK2

=

42+(2 3 +2 3 )2

=8，
∴HN+NM+MK的最小值為8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．

點評：本題主要考查對勾股定理，解二元一次方程組，二次函數與一元二次方程，二次函數與X軸的交點，用待定系數法求二次函數的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度．