Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為4，A的坐標(biāo)為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作⊙A的切線(xiàn)BC交x軸于B．
（1）求直線(xiàn)BC的解析式；
（2）若一拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)恰為⊙A與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在直線(xiàn)上y=x+2上，求此拋物線(xiàn)的解析式；
（3）試判斷點(diǎn)C是否在拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的半徑，連接AC，即可在直角三角形ACO中求出OC的長(zhǎng)和∠BAC的度數(shù)，進(jìn)而可在直角三角形BOC中，根據(jù)OC的長(zhǎng)和∠B的度數(shù)求出B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式．
另一種解法：得出OC的值和∠B的度數(shù)后，OC的值就是直線(xiàn)BC的解析式中c的值，而斜率k就是tan∠B，由此可直接求出直線(xiàn)BC的解析式．
（2）由于E，F(xiàn)正好是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)圓和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知A點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，可先根據(jù)A的坐標(biāo)求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．
（3）將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中即可判斷出C點(diǎn)是否在拋物線(xiàn)上．
解答：解：（1）連接AC，因?yàn)锽C為⊙A的切線(xiàn)，
則AC=4，OA=2，∠ACB=90°
又因?yàn)椤螦OC=90°，
所以∠OCA=30°，∠A=60°，∠B=30度．
所以O(shè)C=OA•tan60°=2，OB=OC•cot30°=2×=6，
所以B（-6，0），C（0，2）．
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+2，
則0=-6k+2
解得k=，
所以y=x+2．

（2）因?yàn)锳E=4，OA=2，
所以O(shè)E=2，OF=6，
則E（-2，0），F(xiàn)（6，0）．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式是y=（9x+2）（x-6），
則y=a（x-2）²-16a，
所以頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-16a）．
因?yàn)椋?，-16a）在直線(xiàn)y=x+2上，
所以-16a=+2，a=-．
所以y=-x²+x+2．

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=2．故點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式的確定，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．