Question

7．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D在BC上，AD=DC．
（1）求∠BAD的大�。�
（2）若BD=1，求點D到AC的距離．
（3）在（2）的條件下，求△ADC的AD邊上的高線長．

Answer 1

分析 （1）先證明∠DAC=∠DCA=30°，求出∠ADB即可解決問題．
（2）過D作DE⊥AC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問題．
（3）過C作AD的延長線的垂線，垂足為F．先證明△ADB≌△CDF，得DF=DB=1，∠DCF=∠BAD=30°，由此即可解決問題．

解答 解：（1）在Rt△ABC 中，∵AD=DC．
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠DCA=60°，
∵∠B=90°，
∴∠BAD=90°-∠ADB=30°．

（2）過D作DE⊥AC于E，
∵∠DAB=∠DAE，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DB=DE=1，
∴D到AC的距離是1．

（3）過C作AD的延長線的垂線，垂足為F．
在△ADB和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠F=90°}\\{∠ADB=∠CDF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDF，
∴DF=DB=1，∠DCF=∠BAD=30°，
∴CD=2DF=2
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形中30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形以及全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．