Question

15．如圖，己知拋物線y=ax²+bx-2與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，在△ABC中，tan∠OAC=2，S_△ABC=4，
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)點E在x軸上，點F在拋物線上，如果A，C，E，F(xiàn)四點構(gòu)成平行四邊形，請直接寫出點E的坐標（不必書寫計算過程）

Answer 1

分析 （1）先求出C點坐標得到OC=2，再在Rt△OAC中利用正切定義求出OA，從而得到A點坐標，然后利用三角形面積公式求出AB，從而得到B點坐標；
（2）設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標代入求出a即可；
（3）如圖，先確定拋物線的對稱軸為直線x=1，分類討論：當(dāng)AC為對角線，利用AE₁∥CF₁得到F₁（2，-2），則有AE₁=CF₁=2，于是可得到E₁點坐標；當(dāng)AC為邊，平行四邊形為ACFE時，利用AE₂∥CF₂同樣可得AE₂=CF₂=2，易得E₂點的坐標；當(dāng)AC為邊，平行四邊形為ACEF時，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷點F和點C到x軸的距離相等，則點F的縱坐標為2，再計算函數(shù)值為2所對應(yīng)的自變量的值得到F₃（1-$\sqrt{7}$，2），F(xiàn)₄（1+$\sqrt{7}$，0），然后利用平移和確定點E₃和點E₄的坐標．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，y=ax²+bx-2=-2，則C（0，-2），
在Rt△OAC中，∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$，
∴OA=$\frac{OC}{2}$=1，
∴A（-1，0）；
∵S_△ABC=4，
∴$\frac{1}{2}$•AB•2=4，解得AB=4，
∴OB=3，
∴B（3，0）；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-2）代入得a•1•（-3）=-2，
解得a=$\frac{2}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；
（3）如圖，拋物線的對稱軸為直線x=1，
當(dāng)AC為對角線，∵AE₁∥CF₁，即CF₁平行x軸，
∴點C和點F₁關(guān)于直線x=1對稱，
∴F₁（2，-2），
∴AE₁=CF₁=2，
∴E₁（-3，0）；
當(dāng)AC為邊，平行四邊形為ACFE時，則AE₂∥CF₂，同樣可得AE₂=CF₂=2，則E₂（1，0）；
當(dāng)AC為邊，平行四邊形為ACEF時，則點F和點C到x軸的距離相等，所以點F的縱坐標為2，
若y=2，則$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2=2，
解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1+$\sqrt{7}$，
則F₃（1-$\sqrt{7}$，2），F(xiàn)₄（1+$\sqrt{7}$，0），
∵點A向右平移1個單位，向下平移2個單位得到C點，
∴點F向右平移1個單位，向下平移2個單位得到E點，
∴E₃（2-$\sqrt{7}$，0），E₄（2+$\sqrt{7}$，0），
綜上所述，滿足條件的E點坐標為（-3，0），（1，0），（2-$\sqrt{7}$，0），（2+$\sqrt{7}$，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，掌握點平移的坐標規(guī)律；會利用三角函數(shù)的定義進行幾何計算；能運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．