Question

k是自然數(shù)，且

1001•1002•…•1985•1986

11k

是整數(shù)，k的最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：取整計(jì)算,數(shù)的整除性

專(zhuān)題：

分析：把一個(gè)數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來(lái)，再求它們的差，如果這個(gè)差是11的倍數(shù)（包括0），那么原來(lái)這個(gè)數(shù)就一定能被11整除，由此先判斷1001至1986之間能被11整除的個(gè)數(shù)，再求所得余數(shù)中間能被11整除的個(gè)數(shù)，然后再求余數(shù)的余數(shù)能被11整除的個(gè)數(shù)，從而即可得出答案．

解答：解：由題意得：1001可以被11可以被11整除，以后每個(gè)11個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)可以被11整除的數(shù)，
∴1001至1986之間有90個(gè)數(shù)能被11整除，
1001至1986之間能被11整除的最后一個(gè)數(shù)為1980，

1001

11

=91，

1980

11

=180，
∴91至180之間能被11整除的有99、110、121、132、143、154、165、176，共8個(gè)．
又

99

11

=9，

176

11

=16，
∴9至16之間能被11整除的只有11，共一個(gè)．
綜上可得：共有90+8+1=99個(gè)數(shù)能被11整除．
故k的最大值是99．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)的整除性的知識(shí)，難度較大，關(guān)鍵是掌握判斷能被11整除的數(shù)的特征，依次判斷原數(shù)、原數(shù)除以11后的余數(shù)、余數(shù)的余數(shù)能被11整除的個(gè)數(shù)．