Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）當(dāng)t取何值時PQ∥AB？

（3）是否存在某一時刻t，使得△PCQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4.8；（2）當(dāng)t=3時，PQ∥AB；（3）當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再根據(jù)PQ∥AB，得到△QCP∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三種情況進(jìn)行討論．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD===4.8．

∴線段CD的長為4.8．

（2）設(shè)DP=t，CQ=t．則CP=4.8﹣t．

∵PQ∥AB，

∵△QCP∽△ABC

∴，即，

∴t=3，

當(dāng)t=3時，PQ∥AB；

（3）①若CQ=CP，如圖1，

則t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴，

∴=，解得t=；

③若QC=QP，

過點(diǎn)Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：t=．

綜上所述：當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．