Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是弧AD上的一點(diǎn)，∠DBC=∠BED．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AD=6，CD=2．
①求BD的長(zhǎng)；
②如圖2所示，請(qǐng)求出陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，加上∠BED=∠A，∠DBC=∠BED，易得∠ABC=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得BC是⊙O的切線；
（2）①證明△BDC∽△ADB，利用相似比可計(jì)算出BD=2

3

；
②連結(jié)OD，作DH⊥AB于H，如圖2，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=4

3

，則OB=OD=2

3

，于是可判斷△OBD為等邊三角形，則∠BOD=60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出DH=

3

OH=3，然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式，利用陰影部分的面積=S_△OBD+S_△BDC-S_扇形OBD進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠BED=∠A，∠DBC=∠BED，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：①∵∠DBC=∠A，∠BDC=∠BDA=90°，
∴△BDC∽△ADB，
∴

BD

AD

=

CD

BD

，即

BD

6

=

2

BD

，
∴BD=2

3

；
②連結(jié)OD，作DH⊥AB于H，如圖2，
在Rt△ABD中，∵AD=6，BD=2

3

，
∴AB=

AD2+BD2

=4

3

，
∴OB=OD=2

3

，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠ODH=30°，
∴OH=

1

2

OD=

3

，
∴DH=

3

OH=3，
∴陰影部分的面積=S_△OBD+S_△BDC-S_扇形OBD
=

1

2

×2

3

×3+

1

2

×2

3

×2-

60•π•(2 3 )2

360

=5

3

-2π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和扇形的面積公式．