Question

17．【提出問題】
在等邊△ABC中，點D為直線BC上的一動點（不與B，C重合），連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．

（1）如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：∠ABC=∠ACE，AC=CE+CD；
（2）如圖2，當(dāng)點D在邊CB的延長線上時，其它條件不變，請補全圖形，結(jié)論AC=CE+CD是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，直接寫出AC，CE，CD之間的數(shù)量關(guān)系；
【變式拓展】
如圖3，△ABC為等腰三角形，AB=BC，當(dāng)點D在邊BC上時，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰△ADE，使AD=ED，連接CE，若∠BCA=∠DEA，試探究∠ABC與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）可證明△BAD≌△CAE，再利用線段的和差可證得結(jié)論；
（2）可證明△ABD≌△ACE，同樣可得到BD=CE，AB=AC=BC，則可得到AC=CD-CE；
（3）變式拓展：可先證明△ABC∽△ADE，可得到$\frac{BA}{DA}$=$\frac{AC}{AE}$，進(jìn)一步可證明△ABD∽△ACE，可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
又∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE，BD=CE，
∴AC=BC=BD+CD，
即AC=CE+CD；
（2）解：圖形如圖所示，

結(jié)論AC=CE+CD不成立，
數(shù)量關(guān)系為AC=CD-CE，
證明如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
又∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE，BD=CE，
∴AC=BC=CD-BD，
即AC=CD-CE；
（3）變式拓展：
解：∠ABC=∠ACE，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠ACB=∠AED，
∴∠BAC=∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴$\frac{BA}{DA}$=$\frac{AC}{AE}$，
又∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABC=∠ACE．

點評 本題為三角形綜合應(yīng)用，涉及知識點有等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等．在（1）（2）問中在證明三角形全等時注意角相等的找法，在（3）中利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例為證明三角形相似找到條件是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．