【題目】在正方形ABCD中,

(1)如圖1,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,且∠AOF=90°.求證:AE=BF.
(2)如圖2,將正方形ABCD折疊,使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合,折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G.若DC=5,CM=2,求EF的長(zhǎng).

【答案】
(1)

解:如圖1,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,

∵∠AOF=90°,

∴∠BAE+∠OBA=90°,

又∵∠FBC+∠OBA=90°,

∴∠BAE=∠CBF,

在△ABE和△BCF中

,

∴△ABE≌△BCF(ASA).

∴AE=BF.


(2)

解:由折疊的性質(zhì)得EF⊥AM,

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H,交AM于O,

則∠ADM=∠FHE=90°,

∴∠HAO+∠AOH=90°、∠HAO+∠AMD=90°,

∴∠POF=∠AOH=∠AMD,

又∵EF⊥AM,

∴∠POF+∠OFP=90°、∠HFE+∠FEH=90°,

∴∠POF=∠FEH,

∴∠FEH=∠AMD,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AD=CD=FH=5,

在△ADM和△FHE中,

∴△ADM≌△FHE(AAS),

∴EF=AM= = =


【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得AB=BC、∠ABE=∠BCF=90°,由∠AOF=90°得∠BAE=∠CBF,再證△ABE≌△BCF即可得;(2)作FH⊥AD,結(jié)合折疊性質(zhì):EF⊥AM,證∠POF=∠AOH=∠AMD=∠FEH,再證△ADM≌△FHE得EF=AM=

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(1)直接寫出a的值,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.

分組

頻數(shù)

頻率

49.5~59.5

0.08

59.5~69.5

0.12

69.5~79.5

20

79.5~89.5

32

89.5~100.5

a

(2)若成績(jī)?cè)?/span>80分以上(含80分)為優(yōu)秀,求這次參賽的學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的約為多少人?

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