Question

【題目】王華在學(xué)習(xí)相似三角形時，在北京市義務(wù)教育課程改革實驗教材第17冊書，第31頁遇到這樣一道題：
如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，聯(lián)結(jié)CP．

要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是__，或__．
（1）王華補充的條件是 ， 或 ．
（2）請你參考上面的圖形和結(jié)論，探究、解答下面的問題：
如圖2，在△ABC中，∠A=30°，AC2= AB2+AB．BC．
求∠C的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）,或AC2=AP?AB
（2）解：延長AB到點D，使BD=BC，連接CD，如圖所示：

∵AC2=AB2+ABBC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=ABAD，

∴ ，

又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，

∴∠ACB=∠D，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，

∴3∠ACB+30°=180°，

∴∠ACB=50°

【解析】解：（1）王華補充的條件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=APAB；理由如下：

∵∠A=∠A，

∴當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或 ，即AC2=APAB時，△ACP∽△ABC；

【考點精析】利用三角形的內(nèi)角和外角和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．