Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+4與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，動點(diǎn)C在x軸正半軸上，⊙D為△AOC的外接圓，射線OD與直線AB交于點(diǎn)E．

（1）如圖①，若OE＝DE，求的值；

（2）如圖②，當(dāng)∠ABC＝2∠ACB時(shí)，求OC的長；

（3）點(diǎn)C由原點(diǎn)向x軸正半軸運(yùn)動過程中，設(shè)OC的長為a，

①用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE；②若xE＝BC，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）OC＝2﹣2；（3）①xE＝；②a的值為±1．

【解析】

（1）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算；

（2）作OF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出OA、OB，根據(jù)正切的定義得到tan∠ODC＝2，設(shè)DF＝m，根據(jù)勾股定理用m表示出OD，計(jì)算即可；

（3）①作EH⊥AO于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案；

②分C在點(diǎn)B右側(cè)、C在點(diǎn)B左側(cè)兩種情況，分別列出方程，解方程即可．

（1）∵OE＝DE，

∴S△AOE＝S△ADE，

∵AD＝CD，

∴S△CDE＝S△ADE，

∴，

故答案為：；

（2）作OF⊥AC于點(diǎn)F，

對于直線y＝﹣2x+4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

則A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），即OA＝4，OB＝2，

∵∠ABC＝2∠ACB，

∴∠ADO＝∠ABC，

∴∠ODC＝∠ABO，

∴tan∠ODC＝tan∠ABO＝2，

設(shè)DF＝m，則OF＝2m，

由勾股定理得，OD＝m，

∴CF＝（﹣1）m，

∴tan∠OCD＝，

∴，即，

解得，OC＝2﹣2；

（3）①設(shè)直線OD交⊙D另一點(diǎn)為G，連結(jié)AG，作EH⊥AO于點(diǎn)H，

則EH∥AG，

∴，，

∴＝1，即＝1，

解得，xE＝；

②當(dāng)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，BC＝xE，即a﹣2＝xE，

∴a﹣2＝，

解得，a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），

當(dāng)C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，BC＝xE，即2﹣a＝xE，

∴2﹣a＝，

解得，a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），

所以a的值為±1．