Question

如圖，直線y=

1

2

x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、C，已知P是該直線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PB⊥x軸于點(diǎn)B，S_△APB=9．
（1）求△AOC的面積；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)R與點(diǎn)P在同一反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)R在直線PB的右側(cè)，作RT⊥x軸于點(diǎn)T，是否存在點(diǎn)R使得△BRT與△AOC相似，若存在，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別令x=0以及y=0求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)．從而求出△AOC的面積．
（2）證明△AOC∽△ABP，設(shè)PB=a，AB=2a，已知S_△APB=9，求出a值后可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）設(shè)△RBT∽△ACO，利用線段比求出R點(diǎn)坐標(biāo)，RT，BT．當(dāng)△RBT∽△CAO得出RT=n，BT=2n，R（2+2n，n）然后代入y=

6

x

求解．

解答：解：（1）A（-4，0），C（0，2），
△AOC的面積為4；（2分）

（2）∵△AOC∽△ABP，
∴設(shè)PB=a，AB=2a，
∵S_△APB=

1

2

a×2a=9，
解得a=±3（舍負(fù)）
即PB=3、AB=6 P的坐標(biāo)為（2，3）（3分）．

（3）由P（2，3）得反比例函數(shù)為y=

6

x

．（1分）
當(dāng)△RBT∽△ACO時(shí)，

RT

BT

=

AO

CO

=

4

2

，
設(shè)BT=m，則RT=2m，R（2+m，2m），
代入y=

6

x

得，m₁=-3（舍），m₂=1，R（3，2）．（3分）
當(dāng)△RBT∽△CAO時(shí)，
同理得：BT=2RT，設(shè)RT=n，BT=2n，得：R（2+2n，n），
代入y=

6

x

得：n=

-1± 13

2

（舍去負(fù)值），
R（

13

+1，

13 -1

2

）（5分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定等相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度中上．