Question

三月三，放風(fēng)箏，小明制了一個(gè)風(fēng)箏，如右圖，且DE=DF，EH=FH，小明不用度量就知道∠DEH = ∠DFH。請你用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識證明之。（提示：可連結(jié)DH，證明 ΔDHE≌ΔDHF或連結(jié)EF，通過證明等腰三角形得證。）

Answer 1

可連結(jié)DH，證明 ΔDHE≌ΔDHF或連結(jié)EF，通過證明等腰三角形得證。

證： ⑴∵AD∥BC  ∴AD∥CE  又∵DE∥AC ∴四邊形ACED是平行四邊形

 ⑵過D點(diǎn)作DF⊥BE于F點(diǎn)  ∵DE∥AC，AC⊥BD ∴DE⊥BD，即∠BDE=90°                             由⑴知DE=AC，CE=AD=3 ∵四邊形ABCD是等腰梯形   ∴AC=DB                    ∴DE=DB  ∴△DBE是等腰直角三角形，∴△DFB也是等腰直角三角形                        ∴DF=BF=(7－3)+3=5  (也可運(yùn)用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半“)                          注：⑴過對角線交點(diǎn)O作OF⊥BC于F，延長FO交AD于H，于是OH⊥AD由△ABC≌△DCB，得到△OBC是等腰直角三角形，OF=BC=      同理OH=AD=，高HF=⑵過A作AF⊥BC于F，過D作DH⊥BC于H，由△AFC≌△DHB   得高AF=FC=(AD+BC)=5⑶(進(jìn)行計(jì)算)

解：（1）當(dāng)CE＝4時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形。 理由如下：

          在BC上截取CE＝AD，連結(jié)DE、AE，∵AD∥BC， ∴四邊形AECD是平行四邊形。

           ∴AE＝CD＝BD。 ∵BE＝12－4＝8＞4，即BE＞AD，  ∴AB不平行于DE，

           ∴四邊形ABED是梯形。  ∵AE∥CD，CD＝BD，  ∴∠AEB＝∠C＝∠DBC。

          在△ABE和△DEB中，

            ∴△ABE≌△DEB （SAS）。  ∴AB＝DE，

          ∴四邊形ABED是等腰梯形。 （也可不作輔助線，通過證明△ABD≌EDC而得AB＝DE）

      （2）當(dāng)C＝6時(shí)，四邊形ABD是直角梯形。   理由如下：  在BC上取一點(diǎn)，使C＝B＝＝6，連結(jié)D，  ∵BD＝CD  ∴D⊥BC   又∵B≠AD，AD∥B，  ∴AB不平行于D    ∴四邊形ABD是直角梯形。