【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面積為5,則sin∠BOE的值為( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由題意可知,OE為對角線AC的中垂線,則CE=AE=5,S△AEC=2S△AOE=10,由S△AEC求出線段AE的長度,進(jìn)而在Rt△BCE中,由勾股定理求出線段BE的長度;然后證明∠BOE=∠BCE,從而可求得結(jié)果.

解:如圖所示,連接EC.


由題意可得,OE為對角線AC的垂直平分線,
∴CE=AE,S△AOE=S△COE=5,
∴S△AEC=2S△AOE=10.
AEBC=10,又BC=4,
∴AE=5,
∴EC=5.
在Rt△BCE中,由勾股定理得:BE==3.
∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°,
∴B、C、O、E四點共圓,
∴∠BOE=∠BCE.
(另解:∵∠AEO+∠EAO=90°,∠AEO=∠BOE+∠ABO,
∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°,又∠ABO=90°-∠OBC=90°-(∠BCE+∠ECO)
∴∠BOE+(90°-(∠BCE+∠ECO))+∠EAO=90°,
化簡得:∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0
∵OE為AC中垂線,
∴∠EAO=∠ECO.
代入上式得:∠BOE=∠BCE.)
∴sin∠BOE=sin∠BCE=
故答案為:

“點睛”本題是幾何綜合題,考查了矩形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角、三角函數(shù)的定義等知識點,有一定的難度.解題要點有兩個:(1)求出線段AE的長度;(2)證明∠BOE=∠BCE.

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