Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)M（m，n）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，位于對(duì)稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)M作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)Q，交拋物線于另一點(diǎn)E，直線BM交y軸于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)S_△MFQ：S_△MEB=1：3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，然后求解即可，再把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q、E的坐標(biāo)，再設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面積，然后列出方程并根據(jù)m的取值范圍整理并求解得到m的值，再根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上求出n的值，然后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
∴y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x²-3x+

9

4

）+

9

8

+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

25

8

）；

（2）∵M(jìn)（m，n），
∴Q（0，n），E（3-m，n），
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），M（m，n）代入得

4k+b=0 mk+b=n

，
解得

k= n m-4 b= 4n 4-m

，
∴y=

n

m-4

x+

4n

4-m

，
令x=0，則y=

4n

4-m

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，

4n

4-m

），
∴MQ=|m|，F(xiàn)Q=|

4n

4-m

-n|=|

mn

4-m

|，ME=|3-m-m|=|3-2m|，
∴S_△MFQ=

1

2

MQ•FQ=

1

2

|m|•|

mn

4-m

|=

1

2

|

m2n

4-m

|，
S_△MEB=

1

2

ME•|n|=

1

2

•|3-2m|•|n|，
∵S_△MFQ：S_△MEB=1：3，
∴

1

2

|

m2n

4-m

|×3=

1

2

•|3-2m|•|n|，
即|

3m2

4-m

|=|3-2m|，
∵點(diǎn)M（m，n）在對(duì)稱軸左側(cè)，
∴m＜

3

2

，
∴

3m2

4-m

=3-2m，
整理得，m²+11m-12=0，
解得m₁=1，m₂=-12，
當(dāng)m₁=1時(shí)，n₁=-

1

2

×1²+

3

2

×1+2=3，
當(dāng)m₂=-12時(shí)，n₂=-

1

2

×（-12）²+

3

2

×（-12）+2=-88，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）或（-12，-88）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，此題運(yùn)算較為復(fù)雜，用m、n表示出△MFQ和△MEB的相應(yīng)的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)兩個(gè)三角形的面積的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．