Question

（1）如圖1，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在BC上，則AP的長是

 

（2）如圖2，一副三角板疊放在一起，若固定△AOB，將△ACD繞著公共頂點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜180），當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時(shí)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=60°，由AC=9，OA=3得OC=6，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OD=OP，∠DOP=60°，然后證明△AOP≌△CDO，所以AP=OC=6；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義旋轉(zhuǎn)角為∠BAD，分類討論：當(dāng)CD∥AB時(shí)，如圖①；當(dāng)AC∥OB時(shí)，如圖②；當(dāng)CD∥OA時(shí)，如圖③；當(dāng)AD∥OB時(shí)，如圖④；當(dāng)CD∥OB時(shí)，如圖⑤，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求∠DAB的度數(shù)．

解答：（1）解：如圖1，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵AC=9，OA=3，
∴OC=6，
∵線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在BC上
∴OD=OP，∠DOP=60°，
∴∠AOP+∠COD=120°，
而∠AOP+∠APO=120°，
∴∠COD=∠APO，
在△AOP和△CDO中

∠A=∠C ∠APO=∠COD OP=OD

，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6．
故答案為6；
（2）在△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBA=45°；在△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=60°，∠ADC=30°，
當(dāng)CD∥AB時(shí)，如圖①，∠BAD=∠ADC=30°，旋轉(zhuǎn)角為∠BAD，所以α=30°；
當(dāng)AC∥OB時(shí)，如圖②，∠CAD=∠BOA=90°，AD與OA共線，
旋轉(zhuǎn)角為∠DAB，所以α=45°；
當(dāng)CD∥OA時(shí)，如圖③，∠ADC=∠OAD=30°，則∠DAB=∠OAD+∠OAB=30°+45°=75°，旋轉(zhuǎn)角為∠DAB，所以α=75°；
當(dāng)AD∥OB時(shí)，如圖④，∠DAO=∠BOA=90°，∠ADB=∠DAO+∠OAB=135°，旋轉(zhuǎn)角為∠DAB，所以α=135°；
當(dāng)CD∥OB時(shí)，如圖⑤，延長OA交CD于E，則∠DEA=∠AOB=90°，而∠D=30°，所以∠DAE=60°，∠DAO=120°，所以∠DAB=120°+45°=165°，
旋轉(zhuǎn)角為∠DAB，所以α=165°，
綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α的值為30°，45°，75°，135°，165°．
故答案為30°，45°，75°，135°，165°．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．