Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動，當(dāng)有一個點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動即停止．
已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=x cm（x≠0），則AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x²cm．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、N兩點(diǎn)重合？
（2）問Q、M兩點(diǎn)能重合嗎？若Q、M兩點(diǎn)能重合，則求出相應(yīng)的x的值；若Q、M兩點(diǎn)不能重合，請說明理由．
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）P、N兩點(diǎn)重合，即AP+DN=AD=BC，聯(lián)立方程解答即可；
（2）當(dāng)Q、M兩點(diǎn)重合時(shí)，即BQ+CM=BC，聯(lián)立方程解答，進(jìn)一步利用DN驗(yàn)證即可；
（3）把P、N兩點(diǎn)分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)或點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，進(jìn)一步利用平行四邊形的性質(zhì)聯(lián)立方程解答即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，
由x²+2x=24，得x₁=4、x₂=-6（舍去）
所以x=4時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，
由x+3x=24，得x=6
此時(shí)DN=x²=36≥24，不符合題意．
故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合．

（3）因?yàn)楫?dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x²=24，
解得：x=2

6

，
BQ=2

6

cm，CM=6

6

cm，
∵BQ+CM=8

6

＜24，
∴此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，
所以點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，
由24-（x+3x）=24-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2；
當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，
由24-（x+3x）=（2x+x²）-24，
解得x₁=-3+

57

，x₂=-3-

57

（舍去）；
當(dāng)x=-3+

57

時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形；
綜上：當(dāng)x=2或x=-3+

57

時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評：此題主要考查借助圖形的性質(zhì)找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)立方程解決問題，并滲透分類討論思想．