Question

某課題組在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：
直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最�。�解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．

請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：
（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為

10

；
（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值；
（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

Answer 1

分析：（1）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E交AC于P，此時(shí)PB+PE的值最�。�連接AB′，先根據(jù)勾股定理求出AB′的長(zhǎng)，再判斷出∠B′AB=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，過(guò)B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時(shí)BM+MN的值最�。�通過(guò)證明△B′AB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解；
（3）將求代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1所示，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E交AC于P，此時(shí)PB+PE的值最小．連接AB′．
AB′=AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，
AE=

1

2

AB=

2

，
∵∠B′AC=∠BAC=45°，
∴∠B′AB=90°，
∴PB+PE的最小值=B′E=

B′A2+AE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．
故答案為：

10

；
     
（2）如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，過(guò)B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時(shí)BM+MN的值最�。�
BM+MN=B′N．
∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°，
∴∠B′AB=60°，
∴△B′AB是等邊三角形
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°，
又∵B′N⊥AB，
∴B′N=B′B=

3

；

（3）構(gòu)造圖形如圖3所示，
其中：AB=4，AC=1，DB=2，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
∵PC+PD=

x2+1

+

(4-x)2+4

，
∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值．
作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，過(guò)C′作C′E垂直DB的延長(zhǎng)線于E．則C′E=AB=4，DE=2+1=3，C′D=

C′E2+DE2

=

42+32

=5
∴所求代數(shù)式的最小值是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，同時(shí)考查了勾股定理及等邊三角形的判定和性質(zhì)，難度較大．