Question

已知，如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED，∠EAD=30⁰，∠AED=90⁰。

（1）求△AED的周長；

（2）若△AED以每秒2個(gè)長度單位的速度沿DC向右平行移動(dòng)，得到△A₀E₀D₀，當(dāng)A₀D₀與BC重合時(shí)停止移動(dòng)。設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，△A₀E₀D₀與△BDC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

（3）如圖②，在（2）中，當(dāng)△AED停止移動(dòng)后得到△BEC，將△BEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B₁，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E₁，設(shè)直線B₁E₁與直線BE交于點(diǎn)P、與直線CB交于點(diǎn)Q。是否存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在平行四邊形ABCD中， BC=6，∴AD= BC=6。

∵在Rt△AED中，∠EAD=30⁰，∠AED=90⁰，∴DE=3，AE=。

∴△AED的周長為。

（2）S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為。

（3）存在。分三種情況討論：

①若BP=BQ，如圖，則

∵∠PBQ=30⁰，

∴∠BQP=∠BPQ=75⁰。

∴∠E₁QC=∠BQP=75⁰。

∴∠E₁CQ=90⁰－75⁰=15⁰。

∴。

②若PQ=BQ，如圖，則

∵∠PBQ=30⁰，

∴∠BQP=120⁰。

∴∠B₁QC=∠BQP=120⁰。

∴∠B₁CQ=180⁰－120⁰－30⁰=30⁰。

∴。

③若PQ=BP，如圖，則

∵∠CBE =30⁰，

∴∠PBQ=30⁰。

∴∠BQP=∠PBQ=30⁰。

∴∠E₁CQ=90⁰－30⁰=60⁰。

∴。

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，此時(shí)B、P、Q三點(diǎn)重合。

∴此時(shí)不存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形。

綜上所述，存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形，或。

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得AD= BC=6，在Rt△AED中根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)可得DE=3，AE=，從而可求△AED的周長。

（2）如圖，當(dāng)△AED移動(dòng)到點(diǎn)E₀在BC邊上時(shí)，易得△CD0E0是等邊三角形，故在D0C=3，△AED移動(dòng)的距離DD0=12－3=9，從而由速度為每秒2個(gè)長度單位，得△AED移動(dòng)的時(shí)間為。

當(dāng)A₀D₀與BC重合時(shí)，△AED移動(dòng)的距離為DC=12，由速度為每秒2個(gè)長度單位，得△AED移動(dòng)的時(shí)間為。

∴當(dāng)時(shí)，。

當(dāng)時(shí)，如圖，，

過點(diǎn)D0作在D₀H⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)N作NG⊥AB于點(diǎn)G，則

DD₀=2t，D₀C=A₀B=BN=，∴。

∴。

當(dāng)時(shí)，0，滿足上式。

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為。

（3）分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三種情況討論即可。