【題目】已知:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,動點E在邊AB上(點E不與點A,B重合), 動點F在射線AC上,連結(jié)DE, DF.
(1)如圖1,當∠DEB=∠DFC=90°時,直接寫出DE與DF的數(shù)量關系;
(2)如圖2,當∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)時,猜想DE與DF的數(shù)量關系,并證明;
(3)當點E,D,F在同一條直線上時,
①依題意補全圖3;
②在點E運動的過程中,是否存在EB=FC? ( 填“存在”或“不存在” ).
【答案】(1)DE=DF;(2)DE=DF;證明見解析;(3)①見解析,②不存在
【解析】
(1)證明△BED≌△CFD,利用全等三角形的對應邊相等即可得出結(jié)論;
(2)連接AD,作DG⊥AB于點G,DH⊥AC于點H,根據(jù)同角的補角相等,得出∠GED=∠DFC,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DG=DH,即可證明△EGD≌△FHD,從而得出結(jié)論;
(3)①根據(jù)題意補全圖形即可;
②假設BE=CF.過E作EG∥AC交BC于G.證明△EGD≌△FCD,得到GD=CD,進而得到G與B重合.由BE與AC相交于點A,與EG∥AC矛盾,得出BE=CF不成立,從而得到結(jié)論.
(1)DE與DF的數(shù)量關系是DE=DF.理由如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵D是BC的中點,∴BD=CD.
在△BED和△CFD中,∵∠B=∠C,∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
(2)猜想:DE與DF的數(shù)量關系是DE=DF.理由如下:
連接AD,作DG⊥AB于點G,DH⊥AC于點H,
∴∠EGD=∠FHD=90°.
∵∠DEB+∠GED=180°,
∠DEB+∠DFC=180°,
∴∠GED=∠DFC.
∵AB=AC,D是BC的中點,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DG⊥AB,DH⊥AC,
∴DG=DH.
在△EGD和△FHD中,
∵,
∴△EGD≌△FHD,
∴DE=DF.
(3)①作圖如下:
②不存在.理由如下:
假設BE=CF.過E作EG∥AC交BC于G.
∵EG∥AC,∴∠EGB=∠ACB,∠EGD=∠FCD.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠EGB,
∴BE=EG.
∵BE=CF,
∴EG=CF.
在△EGD和△FCD中,
∵∠EGD=∠FCD,∠EDG=∠FDC,EG=FC,
∴△EGD≌△FCD,
∴GD=CD.
∵BD=CD,
∴BD=GD,
∴G與B重合.
∵BE與AC相交于點A,與EG∥AC矛盾,
∴BE=CF不成立,
∴在點E運動的過程中,不存在EB=FC.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3.
(1)用配方法將此二次函數(shù)化為頂點式;
(2)求出它的頂點坐標和對稱軸;
(3)求出二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點坐標;
(4)在所給的坐標系上,畫出這個二次函數(shù)的圖象;
(5)觀察圖象填空,使y隨x的增大而減小的x的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點P是菱形ABCD邊上的一動點,它從點A出發(fā)沿在A→B→C→D路徑勻速運動到點D,設△PAD的面積為y,P點的運動時間為x,則y關于x的函數(shù)圖象大致為( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知y是x 的函數(shù),自變量x的取值范圍是x >0,下表是y與x 的幾組對應值.
x | ··· | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | ··· |
y | ··· | 1.98 | 3.95 | 2.63 | 1.58 | 1.13 | 0.88 | ··· |
小騰根據(jù)學習一次函數(shù)的經(jīng)驗,利用上述表格所反映出的y與x之間的變化規(guī)律,對該函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究.
下面是小騰的探究過程,請補充完整:
(1)如圖,在平面直角坐標系中,描出了以上表中各對對應值為坐標的點.根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)畫出的函數(shù)圖象,寫出:
①x=4對應的函數(shù)值y約為________;
②該函數(shù)的一條性質(zhì):__________________.
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【題目】定義:若一個三角形中,其中有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的一半,則這樣的三角形叫做“半角三角形”. 例如:等腰直角三角形就是“半角三角形”.在鈍角三角形中,,,,過點的直線交邊于點.點在直線上,且.
(1)若,點在延長線上.
① 當,點恰好為中點時,依據(jù)題意補全圖1.請寫出圖中的一個“半角三角形”:_______;
② 如圖2,若,圖中是否存在“半角三角形”(△除外),若存在,請寫出圖中的“半角三角形”,并證明;若不存在,請說明理由;
(2)如圖3,若,保持的度數(shù)與(1)中②的結(jié)論相同,請直接寫出,, 滿足的數(shù)量關系:______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)(,、、為常數(shù))的圖象如圖所示,下列個結(jié)論:①;②;③;④;⑤為常數(shù),且.其中正確的結(jié)論有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A在直線l上,點B在直線l外,點B關于直線l的對稱點為C,連接AC,過點B作BD⊥AC于點D,延長BD至E使BE=AB,連接AE并延長與BC的延長線交于點F.
(1)補全圖形;
(2)若∠BAC=2α,求出∠AEB的大。ㄓ煤α的式子表示);
(3)用等式表示線段EF與BC的數(shù)量關系,并證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校計劃從商店購進兩種商品,購買一個商品比購買一個商品多花10元,并且花費300元購買商品和花費100元購買商品的數(shù)量相等.
(1)求購買一個商品和一個商品各需要多少元;
(2)根據(jù)學校實際情況,該學校需要購買種商品的個數(shù)是購買種商品個數(shù)的3倍,還多11個,經(jīng)與商店洽談,商店決定在該學校購買種商品時給予八折優(yōu)惠,如果該學校本次購買兩種商品的總費用不超過1000元,那么該學校最多可購買多少個種商品?
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