【題目】如圖,點(diǎn)A在直線l上,點(diǎn)B在直線l外,點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C,連接AC,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,延長BD至E使BE=AB,連接AE并延長與BC的延長線交于點(diǎn)F.
(1)補(bǔ)全圖形;
(2)若∠BAC=2α,求出∠AEB的大。ㄓ煤α的式子表示);
(3)用等式表示線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)見解析;(2)∠AEB=;(3)BC=,證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意作圖即可補(bǔ)全圖形;
(2)先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABD,再由BE=AB,可得∠AEB=∠BAE,然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果;
(3)設(shè)l與BC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)G,如圖3,先利用軸對稱的性推出∠BAH=∠CAH=α,再根據(jù)質(zhì)余角的性質(zhì)推出∠CBD=∠CAH=α,進(jìn)一步利用(2)的結(jié)論和三角形的外角性質(zhì)推出∠F=45°,進(jìn)而可得,然后根據(jù)AAS可證明△ABH≌△BEG,從而得BH=EG,而BC=2BH,進(jìn)一步即可得出EF與BC的數(shù)量關(guān)系.
解:(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示:
(2)∵BD⊥AC,∠BAD=2α,∴∠ABD=90°-2α,
∵BE=AB,∴∠AEB=∠BAE=;
(3)線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系是:BC=.
證明:設(shè)l與BC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)G,如圖2,
∵點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C,∠BAC=2α,
∴BH=CH,∠BAH=∠CAH=α,
∵AH⊥BC,BD⊥AC,∴∠CAH+∠ACH=90°,∠CBD+∠ACH=90°,
∴∠CBD=∠CAH=α,
∵∠AEB,∠AEB=∠CBD+∠F,
∴∠F=45°,則△EFG為等腰直角三角形,∴,
∵∠BAH=∠EBG=α,∠AHB=∠BGE=90°,AB=BE,
∴△ABH≌△BEG(AAS),
∴BH=EG,
∵BC=2BH,∴BC=2EG=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=12cm,高AD=8cm,把它加工成矩形零件如圖,要使矩形的一邊在BC上,其余兩個頂點(diǎn)分別在AB,AC上.且矩形的長與寬的比為3:2,求這個矩形零件的邊長.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E是上的一點(diǎn),∠DBC=∠BED.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)已知AD=3,CD=2,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),動點(diǎn)E在邊AB上(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合), 動點(diǎn)F在射線AC上,連結(jié)DE, DF.
(1)如圖1,當(dāng)∠DEB=∠DFC=90°時,直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)時,猜想DE與DF的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)當(dāng)點(diǎn)E,D,F在同一條直線上時,
①依題意補(bǔ)全圖3;
②在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中,是否存在EB=FC? ( 填“存在”或“不存在” ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,∠MDN的兩邊分別與AB,AC相交于M,N兩點(diǎn),且DM=DN.
(1)如圖甲,若∠C=90°,∠BAC=60°,AC=9,∠MDN=120°,ND∥AB.
①寫出∠MDA= °,AB的長是 .
②求四邊形AMDN的周長;
(2)如圖乙,過D作DF⊥AC于F,先補(bǔ)全圖乙再證明AM+AN=2AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到線段,連接得,又將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得線段(如圖①).
求的大。ńY(jié)果用含的式子表示);
又將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得線段,連接(如圖②)求;
連接、,試探究當(dāng)為何值時,.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將一塊含有角的三角板放置在一條直線上,邊與直線重合,邊的垂直平分線與邊分別交于兩點(diǎn),連接.
(1) 是 三角形;
(2)直線上有一動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合) ,連接并把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到,連接.當(dāng)點(diǎn)在圖2所示的位置時,證明.我們可以用來證明,從而得到.當(dāng)點(diǎn)移動到圖3所示的位置時,結(jié)論是否依然成立?若成立,請你寫出證明過程;若不成立,請你說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上移動時(不與點(diǎn)重合),周長的最小值是 .
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【題目】李先生參加了清華同方電腦公司推出的分期付款購買電腦活動,他購買的電腦價格為萬元,交了首付之后每月付款元,月結(jié)清余款.與的函數(shù)關(guān)系如圖所示,試根據(jù)圖象提供的信息回答下列問題.
確定與的函數(shù)關(guān)系式,并求出首付款的數(shù)目;
如打算每月付款不超過元,李先生至少幾個月才能結(jié)清余款?
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【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,弦BD⊥AO于E,連接BC,過點(diǎn)O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長度是( 。
A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm
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